lim x->0 ((sin^2 (5x).tg (3x))/(tg (2x). (1-cos x)))=

75

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(5x) \tan(3x)}{\tan(2x)(1 - \cos x)}$, kita akan menggunakan beberapa identitas limit standar:
1. $\lim_{x 	o 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2. $\lim_{x 	o 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
3. $\lim_{x 	o 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

Kita bisa menulis ulang ekspresi limit sebagai berikut:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(5x)}{x^2} \times \frac{\tan(3x)}{x} \times \frac{x}{\tan(2x)} \times \frac{x}{1 - \cos x} \times \frac{x}{x} $$ 
Ini tidak tepat. Mari kita kelompokkan ulang:
$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(5x)}{5x} \right)^2 \times (5x)^2 \times \frac{\tan(3x)}{3x} \times 3x \times \frac{2x}{\tan(2x)} \times \frac{1}{2x} \times \frac{1 - \cos x}{x^2} \times x^2 $$ 
Ini juga terlalu rumit. Mari kita gunakan pendekatan yang lebih langsung dengan memanipulasi ekspresi:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(5x) \tan(3x)}{\tan(2x)(1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} \times \frac{\sin(5x)}{5x} \times 5x \times 5x \times \frac{\tan(3x)}{3x} \times 3x \times \frac{2x}{\tan(2x)} \times \frac{1}{2x} \times \frac{1 - \cos x}{x^2} \times x^2 $$ 
Mari kita sederhanakan ekspresi asli terlebih dahulu:
$$ \frac{\sin^2(5x) \tan(3x)}{\tan(2x)(1 - \cos x)} = \frac{\sin(5x)}{5x} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} 
olimits \cdot (5x)^2 \cdot \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot 3x \cdot \frac{2x}{\tan(2x)} \cdot \frac{1}{2x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot x^2 $$ 
Ini masih belum tepat. Mari kita gunakan cara yang lebih bersih:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(5x) \tan(3x)}{\tan(2x)(1 - \cos x)} $$ 
Kita bisa pisahkan menjadi:
$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(5x)}{5x} \right)^2 \cdot \frac{(5x)^2 \cdot \tan(3x)}{\tan(2x)(1 - \cos x)} $$ 
$$ = 1^2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{25x^2 \cdot \tan(3x)}{\tan(2x)(1 - \cos x)} $$ 
Sekarang kita bagi pembilang dan penyebut dengan $x^3$ (karena kita punya $x^2$ dan perlu $x$ untuk tan dan $x^2$ untuk $1-\cos x$):
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{25x^2 \cdot \frac{\tan(3x)}{x}}{\frac{\tan(2x)}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2}} $$ 
Ini masih belum benar karena kita perlu menyesuaikan konstanta.

Mari kita gunakan identitas dengan benar:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(5x) \tan(3x)}{\tan(2x)(1 - \cos x)} $$ 
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\left(\frac{\sin(5x)}{5x}\right)^2 \cdot (5x)^2 \cdot \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot 3x}{\frac{\tan(2x)}{2x} \cdot 2x \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot x^2} $$ 
Sekarang kita bisa coret suku-suku yang akan menuju 1:
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{1^2 \cdot 25x^2 \cdot 1 \cdot 3x}{1 \cdot 2x \cdot \frac{1}{2} \cdot x^2} $$ 
Ini masih salah. Mari kita gunakan penyederhanaan yang benar.

Kita tahu bahwa untuk $x$ mendekati 0:
$\\sin(ax) \approx ax$
$\\tan(bx) \approx bx$
$1 - \cos(cx) \approx \frac{1}{2}(cx)^2 = \frac{c^2 x^2}{2}$

Jadi, ekspresi menjadi:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{(5x)^2 \cdot (3x)}{(2x) \cdot (\frac{1}{2}(x)^2)} $$ 
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{25x^2 \cdot 3x}{2x \cdot \frac{1}{2}x^2} $$ 
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{75x^3}{x^3} $$ 
$$ = 75 $$ 

Mari kita verifikasi dengan cara yang lebih formal menggunakan limit:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(5x) \tan(3x)}{\tan(2x)(1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} \cdot 5x \cdot 5x \cdot \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot 3x \cdot \frac{1}{\frac{\tan(2x)}{2x} \cdot 2x} \cdot \frac{1}{\frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot x^2}} $$ 
Ini masih kurang tepat pengelompokannya.

Cara yang benar adalah:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(5x) \tan(3x)}{\tan(2x)(1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(5x)}{x^2} \cdot \frac{\tan(3x)}{x} \cdot \frac{x}{\tan(2x)} \cdot \frac{x}{1 - \cos x} $$ 
Kalikan dan bagi dengan konstanta yang sesuai:
$$ = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(5x)}{5x} \right)^2 \cdot (5x)^2 \cdot \frac{\tan(3x)}{3x} \cdot 3x \cdot \frac{2x}{\tan(2x)} \cdot \frac{1}{2x} \cdot \frac{x^2}{1 - \cos x} \cdot \frac{1}{x^2} $$ 
Ini masih rumit.

Mari kita gunakan manipulasi aljabar dan identitas limit:
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(5x) \tan(3x)}{\tan(2x)(1 - \cos x)} $$ 
Kita tahu $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ dan $1 - \cos(x) = 2\sin^2(x/2)$.
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(5x) \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}}{\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}(1 - \cos x)} $$ 
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(5x) \sin(3x) \cos(2x)}{\cos(3x) \sin(2x)(1 - \cos x)} $$ 
Sekarang kita gunakan $\frac{\sin(ax)}{ax} \to 1$ dan $\frac{\tan(bx)}{bx} \to 1$ dan $\frac{1-\cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}$.
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{(\frac{\sin(5x)}{5x})^2 (5x)^2 (\frac{\sin(3x)}{3x}) 3x}{(\frac{\sin(2x)}{2x}) 2x (\frac{1-\cos x}{x^2}) x^2} \cdot \frac{\cos(2x)}{\cos(3x)} $$ 
Kita perlu menyederhanakan suku $x$ yang tersisa:
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{1^2 \cdot 25x^2 \cdot 1 \cdot 3x}{1 \cdot 2x \cdot \frac{1}{2} \cdot x^2} \cdot \frac{\cos(0)}{\cos(0)} $$ 
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{75x^3}{x^3} \cdot 1 $$ 
$$ = 75 $$ 

Jawaban ringkasnya adalah 75.