lim x->0 (sin 3x)/(tan x)= ...

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim x->0 (sin 3x)/(tan x), kita bisa menggunakan sifat-sifat limit trigonometri.

Kita tahu bahwa tan x = sin x / cos x.
Maka, (sin 3x) / (tan x) = (sin 3x) / (sin x / cos x) = (sin 3x * cos x) / (sin x).

Kita juga tahu bahwa untuk limit x->0, sin(kx)/x mendekati k.
Untuk mendapatkan bentuk ini, kita bisa memanipulasi persamaan:

lim x->0 (sin 3x * cos x) / (sin x)
= lim x->0 [ (sin 3x / 3x) * 3x * cos x ] / (sin x / x) * x
= lim x->0 [ (sin 3x / 3x) * 3x * cos x ] / (sin x / x) * x

Kita bisa memisahkan limitnya:
= [ lim x->0 (sin 3x / 3x) * lim x->0 3x * lim x->0 cos x ] / [ lim x->0 (sin x / x) * lim x->0 x ]

Kita tahu:
lim x->0 (sin kx / kx) = 1
lim x->0 cos x = 1

Maka:
= [ 1 * lim x->0 3x * 1 ] / [ 1 * lim x->0 x ]
= lim x->0 3x / x
= 3

Cara lain yang lebih langsung adalah dengan menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0, kita mendapatkan bentuk 0/0.

lim x->0 (sin 3x) / (tan x)
Turunkan pembilang: d/dx (sin 3x) = 3 cos 3x
Turunkan penyebut: d/dx (tan x) = sec^2 x

Maka, limitnya menjadi:
lim x->0 (3 cos 3x) / (sec^2 x)
Substitusikan x=0:
= (3 cos(0)) / (sec^2(0))
= (3 * 1) / (1^2)
= 3 / 1
= 3

Jadi, nilai dari lim x->0 (sin 3x)/(tan x) adalah 3.