lim _(x -> 0) (x^(3))/(3 x-tan 3 x)=..

Hasil limitnya adalah -1/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim (x -> 0) (x^3) / (3x - tan(3x)), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim (x->c) f(x)/g(x) menghasilkan bentuk 0/0 atau ∞/∞, maka limit tersebut sama dengan lim (x->c) f'(x)/g'(x).

Turunan dari pembilang (x^3) adalah 3x^2.
Turunan dari penyebut (3x - tan(3x)) adalah 3 - sec^2(3x) * 3 = 3 - 3sec^2(3x).

Menerapkan aturan L'Hopital:
lim (x -> 0) (3x^2) / (3 - 3sec^2(3x))

Jika kita substitusikan x = 0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
lim (x -> 0) 3(0)^2 / (3 - 3sec^2(3*0))
= 0 / (3 - 3sec^2(0))
= 0 / (3 - 3(1)^2)
= 0 / (3 - 3)
= 0 / 0

Jadi, kita perlu menerapkan aturan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang (3x^2) adalah 6x.
Turunan dari penyebut (3 - 3sec^2(3x)) adalah 0 - 3 * 2 * sec(3x) * (sec(3x)tan(3x) * 3) = -18sec^2(3x)tan(3x).

Menerapkan aturan L'Hopital untuk kedua kalinya:
lim (x -> 0) (6x) / (-18sec^2(3x)tan(3x))

Kita tahu bahwa tan(3x) = sin(3x)/cos(3x). Jadi:
lim (x -> 0) (6x) / (-18sec^2(3x) * (sin(3x)/cos(3x)))
= lim (x -> 0) (6x cos(3x)) / (-18sec^2(3x)sin(3x))

Gunakan fakta bahwa lim (x->0) sin(kx)/kx = 1, dan lim (x->0) cos(kx) = 1, serta lim (x->0) sec(kx) = 1.
Kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut:
= lim (x -> 0) (6x * cos(3x)) / (-18 * (1/cos^2(3x)) * sin(3x))
= lim (x -> 0) (6x cos^3(3x)) / (-18 sin(3x))

Untuk mempermudah, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan 3x:
= lim (x -> 0) (6x cos^3(3x) / 3x) / (-18 sin(3x) / 3x)
= lim (x -> 0) (2 cos^3(3x)) / (-6 * (sin(3x) / 3x))

Sekarang substitusikan x = 0:
= (2 * cos^3(0)) / (-6 * 1)
= (2 * 1^3) / (-6)
= 2 / -6
= -1/3

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah -1/3.