Lim x->1 ((x-1)^2)/(x^(2/3)-2x^(1/3)+1)= ....

Nilai limitnya adalah 9.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi atau manipulasi aljabar.

Limit yang diberikan adalah: lim x->1 ((x-1)^2) / (x^(2/3) - 2x^(1/3) + 1)

Jika kita substitusikan x = 1 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
(1-1)^2 = 0
1^(2/3) - 2(1)^(1/3) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0

Mari kita perhatikan penyebutnya: x^(2/3) - 2x^(1/3) + 1. Ini terlihat seperti bentuk kuadrat sempurna (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Jika kita misalkan y = x^(1/3), maka y^2 = (x^(1/3))^2 = x^(2/3).
Penyebutnya menjadi: y^2 - 2y + 1.
Ini dapat difaktorkan menjadi (y - 1)^2.

Mengganti kembali y dengan x^(1/3), penyebutnya menjadi (x^(1/3) - 1)^2.

Sekarang limitnya menjadi: lim x->1 (x-1)^2 / (x^(1/3) - 1)^2.

Perhatikan juga bahwa (x-1) dapat ditulis sebagai (x^(1/3))^3 - 1^3. Ini adalah selisih kubik yang dapat difaktorkan sebagai (a-b)(a^2+ab+b^2).
Jadi, x - 1 = (x^(1/3) - 1) * ((x^(1/3))^2 + x^(1/3)*1 + 1^2)
x - 1 = (x^(1/3) - 1) * (x^(2/3) + x^(1/3) + 1)

Maka, (x-1)^2 = [(x^(1/3) - 1) * (x^(2/3) + x^(1/3) + 1)]^2
(x-1)^2 = (x^(1/3) - 1)^2 * (x^(2/3) + x^(1/3) + 1)^2

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x->1 [(x^(1/3) - 1)^2 * (x^(2/3) + x^(1/3) + 1)^2] / (x^(1/3) - 1)^2

Kita bisa membatalkan (x^(1/3) - 1)^2 dari pembilang dan penyebut (karena x->1, x tidak sama dengan 1, sehingga x^(1/3) - 1 tidak sama dengan 0).

Limitnya menjadi: lim x->1 (x^(2/3) + x^(1/3) + 1)^2

Sekarang substitusikan x = 1:
(1^(2/3) + 1^(1/3) + 1)^2
(1 + 1 + 1)^2
(3)^2
9

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah 9.