lim x->1 ((x-1)/(tan(pix))=

Nilai limitnya adalah $\frac{1}{\pi}$.

Pembahasan

Kita diminta untuk mencari nilai dari limit berikut: $\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\tan(\pi x)}$.

Langkah 1: Substitusi langsung nilai x = 1 ke dalam fungsi.
Jika kita substitusi x = 1, kita mendapatkan:
Pembilang: $1 - 1 = 0$
Penyebut: $\tan(\pi * 1) = \tan(\pi) = 0$
Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, ini adalah bentuk tak tentu, yang berarti kita perlu menggunakan metode lain untuk menyelesaikannya, seperti Aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Langkah 2: Gunakan Aturan L'Hopital.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit turunan ada.

Dalam kasus ini, $f(x) = x - 1$ dan $g(x) = \tan(\pi x)$.

Cari turunan dari f(x):
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x - 1) = 1$

Cari turunan dari g(x):
$g'(x) = \frac{d}{dx}(\tan(\pi x))$
Gunakan aturan rantai: $\frac{d}{du}(\tan(u)) = \sec^2(u)$ dan $\frac{d}{dx}(\pi x) = \pi$.
Maka, $g'(x) = \sec^2(\pi x) * \pi = \pi \sec^2(\pi x)$.

Sekarang terapkan Aturan L'Hopital:
$\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\tan(\pi x)} = \lim_{x\to 1} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 1} \frac{1}{\pi \sec^2(\pi x)}$

Langkah 3: Substitusi nilai x = 1 ke dalam hasil turunan.
$\frac{1}{\pi \sec^2(\pi * 1)} = \frac{1}{\pi \sec^2(\pi)}$

Kita tahu bahwa $\sec(\pi) = \frac{1}{\cos(\pi)}$.
$\\cos(\pi) = -1$.
Maka, $\\sec(\pi) = \frac{1}{-1} = -1$.

Jadi, $\\sec^2(\pi) = (-1)^2 = 1$.

Substitusikan kembali ke dalam limit:
$\frac{1}{\pi * 1} = \frac{1}{\pi}$.

Jadi, $\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\tan(\pi x)} = \frac{1}{\pi}$.

Alternatif (Manipulasi aljabar):
Kita bisa menulis ulang $\tan(\pi x) = \frac{\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)}$.
Maka limitnya menjadi $\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\frac{\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)}} = \\\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}$.

Sekarang, substitusi x = 1:
Pembilang: $(1-1)\cos(\pi) = 0 * (-1) = 0$.
Penyebut: $\sin(\pi) = 0$.
Masih bentuk $\frac{0}{0}$. Gunakan Aturan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}((x-1)\cos(\pi x)) = 1*\cos(\pi x) + (x-1)*(-\pi \sin(\pi x)) = \cos(\pi x) - \pi(x-1)\sin(\pi x)$.

Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(\sin(\pi x)) = \pi \cos(\pi x)$.

Limitnya menjadi $\lim_{x\to 1} \frac{\cos(\pi x) - \pi(x-1)\sin(\pi x)}{\pi \cos(\pi x)}$.

Substitusi x = 1:
Pembilang: $\cos(\pi) - \pi(1-1)\sin(\pi) = -1 - \pi(0)(0) = -1$.
Penyebut: $\pi \cos(\pi) = \pi * (-1) = -\pi$.

Hasilnya adalah $\frac{-1}{-\pi} = \frac{1}{\pi}$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.