lim _(x -> 1)((x^(2)-2 x+1)/((akar(2-x^(2))-1) cos

-1

Pembahasan

Kita perlu menghitung nilai dari limit:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{(\sqrt{2-x^2} - 1) \cos(\frac{\pi}{2} + 1 - x)} $$ 

Pertama, kita perhatikan pembilang: \(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\).

Selanjutnya, kita perhatikan penyebut. Ada dua bagian: \((\sqrt{2-x^2} - 1)\) dan \(\cos(\frac{\pi}{2} + 1 - x)\).

Menggunakan identitas trigonometri \(\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin(\theta)\), kita dapat menulis \(\cos(\frac{\pi}{2} + (1 - x)) = -\sin(1 - x)\).
Karena \(\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\), maka \(-\sin(1 - x) = -(-\sin(x-1)) = \sin(x-1)\).

Jadi, limitnya menjadi:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2}{(\sqrt{2-x^2} - 1) \sin(x-1)} $$ 

Ketika \(x \to 1\), pembilang \((x-1)^2 \to 0\) dan penyebut \((\sqrt{2-1^2} - 1) \sin(1-1) = (\sqrt{1} - 1) \sin(0) = (1-1) \cdot 0 = 0\). Ini adalah bentuk tak tentu \(0/0\), jadi kita bisa menggunakan Aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar.

Mari kita manipulasi penyebut:
Kalikan bagian \((\sqrt{2-x^2} - 1)\) dengan konjugatnya \((\sqrt{2-x^2} + 1)\):
$$ (\sqrt{2-x^2} - 1) \times \frac{\sqrt{2-x^2} + 1}{\sqrt{2-x^2} + 1} = \frac{(2-x^2) - 1}{\sqrt{2-x^2} + 1} = \frac{1-x^2}{\sqrt{2-x^2} + 1} = \frac{-(x^2-1)}{\sqrt{2-x^2} + 1} = \frac{-(x-1)(x+1)}{\sqrt{2-x^2} + 1} $$ 

Sekarang limitnya menjadi:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2}{\frac{-(x-1)(x+1)}{\sqrt{2-x^2} + 1} \sin(x-1)} $$ 

$$ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2 \cdot (\sqrt{2-x^2} + 1)}{-(x-1)(x+1) \sin(x-1)} $$ 

Kita bisa membatalkan satu faktor \((x-1)\):

$$ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1) (\sqrt{2-x^2} + 1)}{-(x+1) \sin(x-1)} $$ 

Kita tahu bahwa \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1\), jadi \(\lim_{x \to 1} \frac{\sin(x-1)}{x-1} = 1\).
Kita bisa menulis ulang limitnya sebagai:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)}{\sin(x-1)} \cdot \frac{(\sqrt{2-x^2} + 1)}{-(x+1)} $$ 

Kita tahu bahwa \(\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sin(x-1)} = 1\).

Sekarang hitung bagian kedua:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2-x^2} + 1}{-(x+1)} = \frac{\sqrt{2-1^2} + 1}{-(1+1)} = \frac{\sqrt{1} + 1}{-2} = \frac{1 + 1}{-2} = \frac{2}{-2} = -1 $$ 

Jadi, nilai limitnya adalah \(1 \cdot (-1) = -1\).