lim _(x -> 2) (6 . sin ^(3) 2 x)/(sin 4 x . sin 3 x)=..

[3 * sin²(4)] / [cos(4) * sin(6)]

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Tulis ulang fungsi:
   lim (x→2) [6 * sin³(2x)] / [sin(4x) * sin(3x)]
2. Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:
   Turunan pembilang: d/dx [6 * sin³(2x)] = 6 * 3 * sin²(2x) * cos(2x) * 2 = 36 * sin²(2x) * cos(2x)
   Turunan penyebut: d/dx [sin(4x) * sin(3x)] = [cos(4x) * 4 * sin(3x)] + [sin(4x) * cos(3x) * 3] = 4cos(4x)sin(3x) + 3sin(4x)cos(3x)
3. Substitusikan x = 2 ke dalam turunan pembilang dan penyebut:
   Pembilang: 36 * sin²(4) * cos(4)
   Penyebut: 4cos(8)sin(6) + 3sin(8)cos(6)
   Ini masih terlihat rumit. Mari kita coba pendekatan lain menggunakan identitas trigonometri dan limit dasar.
   Kita tahu bahwa lim (x→0) sin(ax)/ax = 1.
   Mari kita manipulasi ekspresi agar mendekati bentuk ini dengan memisahkan suku-sukunya.
   lim (x→2) [6 * (sin(2x))³] / [sin(4x) * sin(3x)]
   = lim (x→2) [6 * (sin(2x) * sin(2x) * sin(2x))] / [sin(4x) * sin(3x)]
   Kita bisa menulis ulang sin(4x) sebagai 2sin(2x)cos(2x).
   = lim (x→2) [6 * sin³(2x)] / [2sin(2x)cos(2x) * sin(3x)]
   = lim (x→2) [3 * sin²(2x)] / [cos(2x) * sin(3x)]
   Sekarang, substitusikan x = 2:
   = [3 * sin²(4)] / [cos(4) * sin(6)]
   Jika limitnya adalah x mendekati 0, kita bisa menyederhanakannya lebih lanjut. Namun, karena x mendekati 2, hasilnya adalah nilai substitusi langsung ini.