Diketahui tan x=(akar(7))/(3) dengan x sudut di kuadran

Nilai cos 2x sin(x/2) adalah \frac{\sqrt{14}}{32}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri dan informasi yang diberikan:

Diketahui:
- $\tan x = \frac{\sqrt{7}}{3}$
- $x$ berada di kuadran III.

Karena $x$ berada di kuadran III, maka $\sin x$ dan $\cos x$ keduanya negatif.

Kita dapat mencari nilai $\sin x$ dan $\cos x$ menggunakan identitas $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ dan $\cos x = \frac{1}{\sec x}$.
$\\sec^2 x = 1 + (\frac{\sqrt{7}}{3})^2 = 1 + \frac{7}{9} = \frac{9}{9} + \frac{7}{9} = \frac{16}{9}$
$\\sec x = \pm \sqrt{\frac{16}{9}} = \pm \frac{4}{3}$

Karena $x$ di kuadran III, $\cos x$ negatif, sehingga $\sec x$ juga negatif. Jadi, $\sec x = -\frac{4}{3}$.
$\\cos x = \frac{1}{\sec x} = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$

Selanjutnya, kita gunakan identitas $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$\\sin^2 x + (- \frac{3}{4})^2 = 1$
$\\sin^2 x + \frac{9}{16} = 1$
$\\sin^2 x = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$
$\\sin x = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

Karena $x$ di kuadran III, $\sin x$ negatif. Jadi, $\sin x = -\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Sekarang kita perlu mencari nilai $\cos 2x$ dan $\sin(\frac{x}{2})$.

Untuk $\cos 2x$, kita bisa gunakan identitas $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$\\cos 2x = 2(-\frac{3}{4})^2 - 1 = 2(\frac{9}{16}) - 1 = \frac{18}{16} - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{9}{8} - \frac{8}{8} = \frac{1}{8}$

Untuk $\sin(\frac{x}{2})$, kita perlu menentukan kuadran dari $\frac{x}{2}$. Karena $x$ di kuadran III ($180^\circ < x < 270^\circ$), maka $\frac{x}{2}$ berada di kuadran II ($90^\circ < \frac{x}{2} < 135^\circ$). Di kuadran II, $\sin(\frac{x}{2})$ bernilai positif.

Kita gunakan identitas $\sin^2(\frac{x}{2}) = \frac{1 - \cos x}{2}$:
$\\sin^2(\frac{x}{2}) = \frac{1 - (-\frac{3}{4})}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4}{4} + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8}$
$\\sin(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7} 	imes \sqrt{2}}{2\sqrt{2} 	imes \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$

Terakhir, kita hitung $\cos 2x \\sin(\frac{x}{2})$:
$\\cos 2x \\sin(\frac{x}{2}) = (\frac{1}{8}) \times (\frac{\sqrt{14}}{4}) = \frac{\sqrt{14}}{32}$

Jadi, nilai $\cos 2x \\sin(\frac{x}{2})$ adalah $\frac{\sqrt{14}}{32}$.