lim _(x -> 5) (3 sin (2 x-10))/(tan (5-x))=...

-6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan identitas trigonometri.

lim (x -> 5) [3 sin (2x - 10)] / [tan (5 - x)]

Kita bisa memanipulasi argumen sinus dan tangen agar sesuai dengan bentuk standar lim (u->0) sin(u)/u = 1 dan lim (u->0) tan(u)/u = 1.

Perhatikan bahwa (2x - 10) = 2(x - 5). Agar mendekati 0, kita bisa menggunakan (x - 5).
Juga, (5 - x) = -(x - 5). Agar mendekati 0, kita bisa menggunakan (x - 5).

Mari kita ubah bentuknya:
lim (x -> 5) [3 sin (2(x - 5))] / [tan (-(x - 5))]

Kita tahu bahwa sin(-A) = -sin(A) dan tan(-A) = -tan(A).
lim (x -> 5) [3 sin (2(x - 5))] / [-tan (x - 5)]

Sekarang kita buat agar sesuai dengan bentuk standar. Kita perlu (x-5) di penyebut untuk sinus, dan (x-5) di pembilang untuk tangen. Kita juga perlu konstanta yang sesuai.

lim (x -> 5) [3 * (sin(2(x-5))/(2(x-5))) * (2(x-5))] / [- (tan(x-5)/(x-5)) * (x-5)]

Cancel out (x-5) dari pembilang dan penyebut:
lim (x -> 5) [3 * (sin(2(x-5))/(2(x-5))) * 2] / [- (tan(x-5)/(x-5))]

Sekarang, kita gunakan fakta bahwa ketika x -> 5, maka (x-5) -> 0, dan 2(x-5) -> 0.
Kita tahu lim (u->0) sin(u)/u = 1 dan lim (u->0) tan(u)/u = 1.

Jadi, limitnya menjadi:
[3 * 1 * 2] / [-1]

6 / -1

-6

Jadi, nilai dari lim (x -> 5) [3 sin (2x - 10)] / [tan (5 - x)] adalah -6.