lim _(x -> 9) (akar(x)-akar(4 akar(x)-3))/(x^(2)-81)=...

1/324

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan metode substitusi atau faktorisasi setelah menyederhanakan bentuknya. Jika kita substitusi x=9 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu (0/0).

lim (akar(x) - akar(4 akar(x) - 3)) / (x^2 - 81) saat x mendekati 9.

Misalkan y = akar(x). Maka saat x mendekati 9, y mendekati 3.
Persamaan menjadi: lim (y - akar(4y - 3)) / (y^2 - 81) saat y mendekati 3.

Ini masih memberikan bentuk tak tentu (3 - akar(12-3)) / (9 - 81) = (3 - 3) / (-72) = 0 / -72 = 0. Sepertinya ada kesalahan dalam perhitungan awal atau soalnya.

Mari kita coba kalikan dengan konjugat dari pembilang:
[akar(x) - akar(4 akar(x) - 3)] * [akar(x) + akar(4 akar(x) - 3)] / [(x^2 - 81) * (akar(x) + akar(4 akar(x) - 3))]

= [x - (4 akar(x) - 3)] / [(x^2 - 81) * (akar(x) + akar(4 akar(x) - 3))]

= [x - 4 akar(x) + 3] / [(x^2 - 81) * (akar(x) + akar(4 akar(x) - 3))]

Perhatikan pembilang: x - 4 akar(x) + 3. Jika kita substitusi x=9, kita dapatkan 9 - 4*3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0.

Sekarang kita perlu memfaktorkan x - 4 akar(x) + 3. Misalkan u = akar(x). Maka menjadi u^2 - 4u + 3 = (u-1)(u-3).
Substitusi kembali u = akar(x): (akar(x) - 1)(akar(x) - 3).

Jadi, pembilangnya adalah (akar(x) - 1)(akar(x) - 3).

Perhatikan penyebut: x^2 - 81 = (x-9)(x+9). Juga, x-9 = (akar(x)-3)(akar(x)+3).

Jadi, penyebut menjadi (akar(x)-3)(akar(x)+3)(x+9).

Limitnya menjadi: lim [(akar(x) - 1)(akar(x) - 3)] / [(akar(x) - 3)(akar(x) + 3)(x + 9)] saat x mendekati 9.

Kita bisa membatalkan (akar(x) - 3):
lim (akar(x) - 1) / [(akar(x) + 3)(x + 9)] saat x mendekati 9.

Sekarang substitusi x = 9:
(akar(9) - 1) / [(akar(9) + 3)(9 + 9)]
= (3 - 1) / [(3 + 3)(18)]
= 2 / [6 * 18]
= 2 / 108
= 1 / 54.

Terdapat ketidaksesuaian dengan pilihan jawaban yang diberikan, mari kita cek ulang soal atau langkah perhitungan.

**Asumsi Ada Kesalahan Pengetikan pada Soal dan Seharusnya Pembilang adalah akar(x)-3:**
Jika soalnya adalah lim (akar(x)-3) / (x^2-81) saat x mendekati 9:
Kita tahu x^2 - 81 = (x-9)(x+9) = (akar(x)-3)(akar(x)+3)(x+9).
Maka limitnya menjadi: lim (akar(x)-3) / [(akar(x)-3)(akar(x)+3)(x+9)]
= lim 1 / [(akar(x)+3)(x+9)] saat x mendekati 9
Substitusi x=9: 1 / [(3+3)(9+9)] = 1 / [6 * 18] = 1 / 108.

**Asumsi Ada Kesalahan Pengetikan pada Soal dan Seharusnya Pembilang adalah akar(x)-akar(3):** Ini tidak masuk akal karena jika x=9, akar(4*akar(9)-3) = akar(4*3-3) = akar(9) = 3.

**Asumsi Ada Kesalahan Pengetikan pada Soal dan Seharusnya Pembilang adalah akar(x)-akar(3x-6):** Jika x=9, akar(9)-akar(3*9-6) = 3 - akar(27-6) = 3 - akar(21) bukan 0.

Mari kita coba kerjakan ulang soal persis seperti yang tertulis, dengan fokus pada pembilang: akar(x) - akar(4 akar(x) - 3).
Saat x=9, pembilangnya adalah akar(9) - akar(4*akar(9)-3) = 3 - akar(4*3-3) = 3 - akar(12-3) = 3 - akar(9) = 3 - 3 = 0.
Penyebutnya adalah x^2 - 81. Saat x=9, penyebutnya adalah 9^2 - 81 = 81 - 81 = 0.
Jadi kita memiliki bentuk tak tentu 0/0.

Kita gunakan aturan L'Hopital atau faktorisasi seperti sebelumnya.
Kita sudah faktorkan pembilang menjadi (akar(x) - 1)(akar(x) - 3).
Kita sudah faktorkan penyebut menjadi (akar(x)-3)(akar(x)+3)(x+9).

Limitnya menjadi: lim [(akar(x) - 1)(akar(x) - 3)] / [(akar(x) - 3)(akar(x) + 3)(x + 9)] saat x mendekati 9.

Membatalkan (akar(x) - 3):
lim (akar(x) - 1) / [(akar(x) + 3)(x + 9)] saat x mendekati 9.

Substitusi x = 9:
(akar(9) - 1) / [(akar(9) + 3)(9 + 9)]
= (3 - 1) / [(3 + 3)(18)]
= 2 / [6 * 18]
= 2 / 108
= 1 / 54.

Karena 1/54 tidak ada di pilihan, mari kita periksa kembali soalnya. Kemungkinan ada kesalahan ketik pada soal atau pilihan jawaban.

**Jika soalnya adalah:** lim (akar(x) - 3) / (x - 9) saat x mendekati 9
Ini adalah turunan dari akar(x) di x=9. Turunan akar(x) adalah 1/(2*akar(x)). Di x=9, nilainya adalah 1/(2*3) = 1/6.

**Jika soalnya adalah:** lim (akar(x) - akar(4x - 3)) / (x^2 - 81)
Saat x=9, pembilang = akar(9) - akar(4*9-3) = 3 - akar(36-3) = 3 - akar(33) ≠ 0.

Mari kita coba analisis pilihan jawaban:
(A) 1/18
(B) 1/48
(C) 1/124
(D) 1/324
(E) 1/400

Jika kita lihat pola umum dari limit yang melibatkan akar kuadrat dan polinomial, hasil biasanya adalah rasional. Hasil 1/54 yang kita dapatkan adalah rasional.

Kemungkinan ada kesalahan dalam penyalinan soal. Mari kita asumsikan soalnya adalah lim (akar(x)-3) / (x^2-81) untuk melihat apakah kita mendapatkan salah satu jawaban.
Limit = lim (akar(x)-3) / ((x-9)(x+9))
Kita tahu lim (akar(x)-3) / (x-9) = 1/6 (dari turunan).
Maka limitnya = (1/6) / (9+9) = (1/6) / 18 = 1/108. Masih belum cocok.

Mari kita coba faktorisasi lain:
x - 4 akar(x) + 3 = (akar(x)-1)(akar(x)-3)

Coba kita manipulasi pembilang: akar(x) - akar(4*akar(x) - 3).
Jika kita kalikan dengan konjugatnya: akar(x) + akar(4*akar(x) - 3)

Perhatikan bentuk x - 4 akar(x) + 3 = (akar(x) - 3)^2 - 6*akar(x) + 9 + 3 ? Tidak.

Coba kita gunakan substitusi lain. Misalkan u = akar(x). Jadi u^2 = x.
lim (u - akar(4u - 3)) / (u^4 - 81) saat u mendekati 3.

Kalikan dengan konjugat pembilang: (u + akar(4u - 3)) / (u + akar(4u - 3))
= lim [(u - akar(4u - 3)) * (u + akar(4u - 3))] / [(u^4 - 81) * (u + akar(4u - 3))] saat u mendekati 3.
= lim [u^2 - (4u - 3)] / [(u^4 - 81) * (u + akar(4u - 3))] saat u mendekati 3.
= lim [u^2 - 4u + 3] / [(u^4 - 81) * (u + akar(4u - 3))] saat u mendekati 3.

Kita tahu u^2 - 4u + 3 = (u-1)(u-3).
Kita tahu u^4 - 81 = (u^2 - 9)(u^2 + 9) = (u-3)(u+3)(u^2+9).

Jadi, limitnya menjadi:
lim [(u-1)(u-3)] / [(u-3)(u+3)(u^2+9) * (u + akar(4u - 3))] saat u mendekati 3.

Membatalkan (u-3):
lim (u-1) / [(u+3)(u^2+9) * (u + akar(4u - 3))] saat u mendekati 3.

Substitusi u=3:
(3-1) / [(3+3)(3^2+9) * (3 + akar(4*3 - 3))]
= 2 / [6 * (9+9) * (3 + akar(12 - 3))]
= 2 / [6 * 18 * (3 + akar(9))]
= 2 / [108 * (3 + 3)]
= 2 / [108 * 6]
= 2 / 648
= 1 / 324.

Pilihan (D) adalah 1/324. Jadi, soalnya memang seperti yang tertulis dan hasil perhitungannya adalah 1/324.