lim _(x -> (pi)/(2)) (1+sin 2 x)/(sin x)=...

1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan identitas trigonometri. 
Limit yang diberikan adalah: lim (x -> pi/2) (1 + sin 2x) / sin x 
Kita tahu bahwa sin 2x = 2 sin x cos x. 
Jadi, ekspresi di atas menjadi: lim (x -> pi/2) (1 + 2 sin x cos x) / sin x 
Ketika x mendekati pi/2, sin x mendekati sin(pi/2) = 1, dan cos x mendekati cos(pi/2) = 0. 
Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi: 
(1 + 2 * sin(pi/2) * cos(pi/2)) / sin(pi/2) 
= (1 + 2 * 1 * 0) / 1 
= (1 + 0) / 1 
= 1 / 1 
= 1 

Cara lain adalah dengan menggunakan substitusi u = x - pi/2. Maka x = u + pi/2. Ketika x -> pi/2, maka u -> 0. 
sin x = sin(u + pi/2) = cos u 
sin 2x = sin(2(u + pi/2)) = sin(2u + pi) = -sin 2u 

Limit menjadi: lim (u -> 0) (1 - sin 2u) / cos u 
Kita tahu 1 - cos(2θ) = 2 sin^2 θ. Jika kita ubah bentuknya menjadi 1 - sin(2u), kita bisa gunakan identitas sin(2u) = cos(pi/2 - 2u). 
Ini menjadi rumit. Mari kita kembali ke substitusi awal. 

lim (x -> pi/2) (1 + sin 2x) / sin x 
Perhatikan bahwa jika kita substitusi langsung x = pi/2, kita mendapatkan (1 + sin(pi))/sin(pi/2) = (1+0)/1 = 1. 
Tidak ada bentuk tak tentu (0/0 atau ∞/∞), sehingga substitusi langsung sudah valid.