lim _(x -> (pi)/(2)) (cos 2 x-cos x)/(sin 2 x . cos 2 x)=

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena ketika x mendekati π/2, baik pembilang maupun penyebut akan mendekati 0. 

Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika lim (f(x)/g(x)) menghasilkan bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞, maka limit tersebut sama dengan lim (f'(x)/g'(x)).

Dalam kasus ini, f(x) = cos(2x) - cos(x) dan g(x) = sin(2x) * cos(2x).

Turunan dari f(x) adalah f'(x) = -2sin(2x) + sin(x).

Untuk turunan g(x), kita gunakan aturan perkalian: g'(x) = (2cos(2x) * cos(2x)) + (sin(2x) * (-2sin(2x)))
= 2cos^2(2x) - 2sin^2(2x)
= 2(cos^2(2x) - sin^2(2x))
= 2cos(4x).

Sekarang kita substitusikan x = π/2 ke dalam f'(x) dan g'(x):

f'(π/2) = -2sin(2 * π/2) + sin(π/2) = -2sin(π) + sin(π/2) = -2(0) + 1 = 1.

g'(π/2) = 2cos(4 * π/2) = 2cos(2π) = 2(1) = 2.

Jadi, limitnya adalah f'(π/2) / g'(π/2) = 1/2.