lim _(x -> (pi)/(3)) (cos ^(2) x-tan ^(2) (3)/(4) x)/(sin

-3/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 ketika x mendekati π/3. Pertama, kita substitusikan x = π/3 ke dalam fungsi:

cos^2(π/3) = (1/2)^2 = 1/4
tan^2(3/4 * π/3) = tan^2(π/4) = 1^2 = 1

Karena penyebutnya adalah sin(1/2 * π/3) = sin(π/6) = 1/2, maka bentuknya bukan 0/0. Kita bisa langsung substitusi:

lim (x -> π/3) (cos^2 x - tan^2(3/4 x)) / sin(1/2 x)
= (cos^2(π/3) - tan^2(π/4)) / sin(π/6)
= ((1/2)^2 - 1^2) / (1/2)
= (1/4 - 1) / (1/2)
= (-3/4) / (1/2)
= -3/4 * 2
= -3/2

Namun, mari kita periksa kembali soalnya. Sepertinya ada kesalahan dalam penulisan soal, kemungkinan maksudnya adalah \"cos x\" bukan \"cos^2 x\" atau \"tan x\" bukan \"tan^2 x\". Jika kita mengasumsikan soalnya adalah \"lim (x -> π/3) (cos x - tan x) / sin x\", maka substitusi langsung menghasilkan (cos(π/3) - tan(π/3)) / sin(π/3) = (1/2 - √3) / (1/2) yang bukan bentuk tak tentu.

Mari kita asumsikan soalnya adalah \"lim (x -> π/3) (cos x - cos(π/3)) / sin x\". Ini juga bukan bentuk tak tentu.

Kemungkinan lain yang membuat bentuknya 0/0 adalah jika soalnya adalah \"lim (x -> π/3) (cos x - 1/2) / sin x\", maka:

Turunan dari cos x adalah -sin x.
Turunan dari sin x adalah cos x.

Maka, menggunakan aturan L'Hopital:
lim (x -> π/3) (-sin x) / cos x = -tan x
= -tan(π/3) = -√3

Jika kita kembali ke soal asli \"lim (x -> π/3) (cos^2 x - tan^2(3/4 x)) / sin(1/2 x)\", dan mengasumsikan ada kesalahan ketik dan seharusnya \"lim (x -> π/3) (cos x - √3) / sin(1/2 x)\", maka:

Ketika x -> π/3, cos x -> 1/2, jadi cos x - √3 tidak mendekati 0.

Karena ketidakjelasan dalam soal asli, kita akan menginterpretasikan soal sebagai \"lim (x -> π/3) (cos x - cos(π/3)) / (sin(x) - sin(π/3))\" yang mengarah ke turunan cos x / turunan sin x di x=π/3.

Turunan cos x adalah -sin x. Di x=π/3, -sin(π/3) = -√3/2.
Turunan sin x adalah cos x. Di x=π/3, cos(π/3) = 1/2.
Maka, hasilnya adalah (-√3/2) / (1/2) = -√3.

Namun, jika kita tetap pada soal asli dan mengasumsikan itu adalah kesalahan penulisan dan maksudnya adalah mendekati nilai yang menghasilkan 0/0, mari kita periksa kembali:
cos^2(π/3) = 1/4
tan^2(π/4) = 1
sin(π/6) = 1/2

Jadi, (1/4 - 1) / (1/2) = (-3/4) / (1/2) = -3/2. Ini adalah jawaban jika tidak ada bentuk tak tentu.

Mengacu pada soal yang tertulis persis seperti itu, tidak ada bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞, sehingga kita bisa langsung substitusi.
Jawaban: -3/2