Agar deret bilangan x(x -1)/x , 1/x , 1/x)x-1) , ...

Nilai x harus memenuhi x < 0 atau x > 2

Pembahasan

Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a = \frac{x(x-1)}{x}$ dan rasio $r = \frac{1/x}{x(x-1)/x} = \frac{1}{x(x-1)}$ atau $r = \frac{1/x}{x(x-1)/x} = \frac{1}{x-1}$ memiliki jumlah (konvergen), maka nilai mutlak rasionya harus kurang dari 1, yaitu $|r| < 1$.

Mari kita analisis rasio dari kedua pilihan yang diberikan:

Kasus 1: $r = \frac{1}{x(x-1)}$
Agar deret konvergen, $|\frac{1}{x(x-1)}| < 1$.
Ini berarti $x(x-1) > 1$ atau $x(x-1) < -1$.

Jika $x(x-1) > 1$:
$x^2 - x - 1 > 0$
Cari akar dari $x^2 - x - 1 = 0$ menggunakan rumus kuadratik: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Jadi, $x > \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ atau $x < \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

Jika $x(x-1) < -1$:
$x^2 - x + 1 < 0$
Cari akar dari $x^2 - x + 1 = 0$:
Diskriminan $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$.
Karena diskriminan negatif dan koefisien $x^2$ positif, maka $x^2 - x + 1$ selalu positif untuk semua nilai $x$. Jadi, tidak ada solusi untuk $x^2 - x + 1 < 0$.

Kasus 2: $r = \frac{1}{x-1}$
Agar deret konvergen, $|\frac{1}{x-1}| < 1$.
Ini berarti $x-1 > 1$ atau $x-1 < -1$.

Jika $x-1 > 1$:
$x > 2$

Jika $x-1 < -1$:
$x < 0$

Agar deret konvergen, salah satu kondisi rasio harus terpenuhi. Kita juga perlu memastikan bahwa suku-suku deret terdefinisi, yang berarti $x \neq 0$ dan $x \neq 1$ untuk suku pertama dan $x \neq 1$ untuk rasio. 

Dari analisis kedua kasus rasio, kondisi yang paling umum agar jumlah deret mempunyai limit adalah $|r| < 1$. 

Jika kita mengasumsikan rasio yang dimaksud adalah $r = \frac{1}{x-1}$ (dengan suku pertama $a = \frac{1}{x}$ dan suku kedua $1/x$, yang menghasilkan rasio $1/x / (1/x) = 1$, yang tidak mungkin membentuk deret geometri yang diberikan), atau $a=x/(x-1)$ dan suku kedua $1/x$ maka $r = \frac{1/x}{x/(x-1)} = \frac{x-1}{x^2}$.

Jika kita mengambil deretnya adalah $\frac{x(x-1)}{x}$, $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x(x-1)}$, ...
Maka suku pertama $a = x-1$ (jika $x\neq 0$)
suku kedua $b = 1/x$
suku ketiga $c = 1/(x(x-1))$
Rasio $r = b/a = \frac{1/x}{x-1} = \frac{1}{x(x-1)}$
Rasio $r = c/b = \frac{1/(x(x-1))}{1/x} = \frac{x}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1}$

Terjadi inkonsistensi dalam rasio yang dihitung, yang menunjukkan ada kesalahan penulisan pada soal deret tersebut.

Namun, jika kita mengasumsikan deret tersebut adalah deret geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$, dan kita harus mencari nilai $x$ agar deret konvergen ($|r| < 1$), maka kita perlu menentukan $r$ terlebih dahulu dari suku-suku yang diberikan.

Jika kita menginterpretasikan soal sebagai berikut: Deret geometri adalah $u_1, u_2, u_3, ...$ dengan $u_1 = \frac{x(x-1)}{x}$, $u_2 = \frac{1}{x}$, $u_3 = \frac{1}{x(x-1)}$.

Maka rasio $r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{1/x}{x(x-1)/x} = \frac{1/x}{(x-1)} = \frac{1}{x(x-1)}$.

Dan $r = \frac{u_3}{u_2} = \frac{1/(x(x-1))}{1/x} = \frac{x}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1}$.

Agar ini menjadi deret geometri, kedua rasio harus sama: $\frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1}$.
Ini hanya mungkin jika $x(x-1) = x-1$, yang berarti $x(x-1) - (x-1) = 0$, atau $(x-1)(x-1) = 0$, sehingga $x=1$. Namun, jika $x=1$, maka penyebut menjadi nol, sehingga suku-suku tidak terdefinisi.


Asumsikan ada kesalahan ketik dan deretnya adalah:
$a, ar, ar^2, ...$
Jika suku-sukunya adalah $\frac{x-1}{x}$, $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x(x-1)}$, ...

Maka $a = \frac{x-1}{x}$
$ar = \frac{1}{x}$
$ar^2 = \frac{1}{x(x-1)}$

Dari $a$ dan $ar$, rasio $r = \frac{ar}{a} = \frac{1/x}{(x-1)/x} = \frac{1}{x-1}$.
Dari $ar$ dan $ar^2$, rasio $r = \frac{ar^2}{ar} = \frac{1/(x(x-1))}{1/x} = \frac{x}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1}$.

Nah, rasio yang konsisten adalah $r = \frac{1}{x-1}$.
Agar deret geometri konvergen, $|r| < 1$, sehingga $|\frac{1}{x-1}| < 1$.
Ini berarti $-1 < \frac{1}{x-1} < 1$.

Kita pecah menjadi dua pertidaksamaan:
1) $\frac{1}{x-1} < 1$
   $\frac{1}{x-1} - 1 < 0$
   $\frac{1 - (x-1)}{x-1} < 0$
   $\frac{2-x}{x-1} < 0$
   Ini terjadi ketika $(2-x > 0$ dan $x-1 < 0)$ atau $(2-x < 0$ dan $x-1 > 0)$.
   Kasus a: $x < 2$ dan $x < 1$, sehingga $x < 1$.
   Kasus b: $x > 2$ dan $x > 1$, sehingga $x > 2$.
   Jadi, $x < 1$ atau $x > 2$.

2) $\frac{1}{x-1} > -1$
   $\frac{1}{x-1} + 1 > 0$
   $\frac{1 + (x-1)}{x-1} > 0$
   $\frac{x}{x-1} > 0$
   Ini terjadi ketika $(x > 0$ dan $x-1 > 0)$ atau $(x < 0$ dan $x-1 < 0)$.
   Kasus a: $x > 0$ dan $x > 1$, sehingga $x > 1$.
   Kasus b: $x < 0$ dan $x < 1$, sehingga $x < 0$.
   Jadi, $x < 0$ atau $x > 1$.

Agar kedua kondisi terpenuhi, kita harus mencari irisan dari $(x < 1 	ext{ atau } x > 2)$ dan $(x < 0 	ext{ atau } x > 1)$.
Irisannya adalah $x < 0$ atau $x > 2$.

Nilai $x$ harus memenuhi $x < 0$ atau $x > 2$.