lim x-> (sin2xtan 3x/xsinx) =

Nilai limitnya adalah 6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar.

Limit yang diberikan adalah: lim x->0 (sin(2x)tan(3x) / (x sin(x)))

Kita bisa memecahnya menjadi perkalian limit yang diketahui:
lim x->0 (sin(ax) / x) = a
lim x->0 (tan(bx) / x) = b

Ubah tan(3x) menjadi sin(3x) / cos(3x).
lim x->0 (sin(2x) * (sin(3x) / cos(3x)) / (x * sin(x)))

Susun ulang suku-sukunya:
lim x->0 [ (sin(2x)/x) * (sin(3x)/x) * (1/sin(x)) * (1/cos(3x)) ]

Kita perlu menyesuaikan suku-suku agar sesuai dengan bentuk limit standar. Kalikan dan bagi dengan x untuk suku yang tersisa:

lim x->0 [ (sin(2x)/x) * (sin(3x)/x) * (1/sin(x)) * (1/cos(3x)) ]

Perhatikan bahwa kita memiliki (sin(3x)/x) dan (1/sin(x)). Mari kita kelompokkan:

lim x->0 [ (sin(2x)/x) * (sin(3x)/x) * (1/sin(x)) ]

Kita bisa menulis ulang sin(x) sebagai (sin(x)/x) * x.

lim x->0 [ (sin(2x)/x) * (sin(3x)/x) * (1 / ((sin(x)/x) * x)) ]

Sekarang, kelompokkan lagi:

lim x->0 [ (sin(2x)/x) * (sin(3x)/x) * (1/(sin(x)/x)) * (1/x) ]

Ini masih belum benar karena ada '1/x' di akhir.
Mari kita coba cara lain dengan mengalikan dan membagi dengan konstanta yang sesuai:

lim x->0 [ (sin(2x) / (2x)) * 2 * (tan(3x) / (3x)) * 3 / (x * (sin(x)/x)) ]

Ini juga terlihat rumit. Cara yang lebih sederhana adalah dengan manipulasi berikut:

lim x->0 [ (sin(2x) / x) * (tan(3x) / x) * (1 / sin(x)) ]

Kita tahu bahwa lim x->0 (sin(ax)/x) = a dan lim x->0 (tan(bx)/x) = b.

Kita punya: (sin(2x)/x) -> 2
Kita punya: (tan(3x)/x) -> 3

Bagian yang tersisa adalah (1/sin(x)). Ini akan menuju tak terhingga saat x mendekati 0. Ini menunjukkan ada kesalahan dalam pemecahan atau penulisan ulang.

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih standar:
lim x->0 (sin(2x) * tan(3x)) / (x * sin(x))

Kita bisa menulis ulang sebagai:
lim x->0 [ (sin(2x) / 2x) * 2x * (tan(3x) / 3x) * 3x / (x * (sin(x) / x) * x) ]

Ini masih rumit. Cara yang paling efisien adalah:

lim x->0 [ (sin(2x) / x) * (tan(3x) / x) * (1 / sin(x)) ]

Kalikan pembilang dan penyebut dengan 2x dan 3x, serta x dan x lagi:

lim x->0 [ (sin(2x) / 2x) * 2x * (tan(3x) / 3x) * 3x / (x * (sin(x) / x) * x) ]

lim x->0 [ (sin(2x) / 2x) * (tan(3x) / 3x) * (2x * 3x) / (x * (sin(x) / x) * x) ]

lim x->0 [ (sin(2x) / 2x) * (tan(3x) / 3x) * (6x^2) / (x * (sin(x) / x) * x) ]

lim x->0 [ (sin(2x) / 2x) * (tan(3x) / 3x) * (6x^2) / (x^2 * (sin(x) / x)) ]

Sekarang, kita gunakan sifat limit:
lim x->0 (sin(ax)/ax) = 1
lim x->0 (tan(bx)/bx) = 1
lim x->0 (sin(x)/x) = 1

Substitusikan nilai limitnya:

1 * 1 * (6x^2) / (x^2 * 1)

lim x->0 [ 6x^2 / x^2 ]

lim x->0 [ 6 ]

Hasilnya adalah 6.

Atau menggunakan aturan L'Hopital (karena bentuknya 0/0):
Turunkan pembilang: d/dx (sin(2x)tan(3x))
= (2cos(2x)tan(3x)) + (sin(2x) * 3sec^2(3x))

Turunkan penyebut: d/dx (x sin(x))
= (1 * sin(x)) + (x * cos(x))

Evaluasi di x=0:
Pembilang: (2cos(0)tan(0)) + (sin(0) * 3sec^2(0)) = (2*1*0) + (0 * 3*1^2) = 0
Penyebut: (sin(0)) + (0 * cos(0)) = 0 + 0 = 0

Masih berbentuk 0/0, jadi kita perlu menurunkan lagi.

Turunan kedua pembilang:
d/dx [ 2cos(2x)tan(3x) + 3sin(2x)sec^2(3x) ]
= [ (-4sin(2x)tan(3x)) + (2cos(2x) * 3sec^2(3x)) ] + [ (6cos(2x)sec^2(3x)) + (3sin(2x) * 2sec(3x) * sec(3x)tan(3x) * 3) ]

Turunan kedua penyebut:
d/dx [ sin(x) + x cos(x) ]
= cos(x) + [ cos(x) + x(-sin(x)) ]
= 2cos(x) - xsin(x)

Evaluasi di x=0 untuk turunan kedua:
Pembilang:
[ (-4sin(0)tan(0)) + (2cos(0) * 3sec^2(0)) ] + [ (6cos(0)sec^2(0)) + (3sin(0) * ...) ]
= [ (0) + (2*1*3*1) ] + [ (6*1*1) + (0) ]
= 6 + 6 = 12

Penyebut:
2cos(0) - 0*sin(0) = 2*1 - 0 = 2

Hasil limit = 12 / 2 = 6.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.