lim x->tak hingga (x+2-akar(x^2+x+1)=...

3/2

Pembahasan

Pertanyaan ini meminta penyelesaian dari limit:
lim x→∞ (x + 2 - √(x² + x + 1))

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa mengalikan dengan bentuk sekawan dari ekspresi tersebut:
Bentuk sekawan dari (x + 2 - √(x² + x + 1)) adalah (x + 2 + √(x² + x + 1)).

Namun, cara yang lebih umum adalah dengan mengubah ekspresi agar lebih mudah diolah:
lim x→∞ (x + 2 - √(x² + x + 1))
= lim x→∞ [(x + 2) - √(x² + x + 1)]

Kita bisa mengeluarkan x² dari dalam akar:
√(x² + x + 1) = √(x²(1 + 1/x + 1/x²)) = |x|√(1 + 1/x + 1/x²)
Karena x → ∞, maka x positif, sehingga |x| = x.
Jadi, √(x² + x + 1) = x√(1 + 1/x + 1/x²)

Sekarang substitusikan kembali ke limit:
lim x→∞ [x + 2 - x√(1 + 1/x + 1/x²)]
= lim x→∞ [x(1 - √(1 + 1/x + 1/x²)) + 2]

Gunakan aproksimasi binomial untuk (1 + u)ⁿ ≈ 1 + nu jika u kecil. Di sini, u = 1/x + 1/x² dan n = 1/2.
√(1 + 1/x + 1/x²) ≈ 1 + (1/2)(1/x + 1/x²) = 1 + 1/(2x) + 1/(2x²)

Substitusikan kembali:
lim x→∞ [x(1 - (1 + 1/(2x) + 1/(2x²))) + 2]
= lim x→∞ [x(1 - 1 - 1/(2x) - 1/(2x²)) + 2]
= lim x→∞ [x(-1/(2x) - 1/(2x²)) + 2]
= lim x→∞ [-1/2 - 1/(2x) + 2]

Saat x → ∞, 1/(2x) → 0.
Jadi, limitnya adalah -1/2 + 2 = 3/2.

Cara lain dengan mengalikan dengan sekawan dari ekspresi asli:
lim x→∞ (x + 2 - √(x² + x + 1))
= lim x→∞ [(x + 2 - √(x² + x + 1)) * (x + 2 + √(x² + x + 1))] / (x + 2 + √(x² + x + 1))
= lim x→∞ [(x + 2)² - (x² + x + 1)] / (x + 2 + √(x² + x + 1))
= lim x→∞ [x² + 4x + 4 - x² - x - 1] / (x + 2 + √(x² + x + 1))
= lim x→∞ [3x + 3] / (x + 2 + √(x² + x + 1))

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
= lim x→∞ [3 + 3/x] / (1 + 2/x + √(1 + 1/x + 1/x²))

Saat x → ∞, 3/x → 0, 2/x → 0, 1/x → 0, 1/x² → 0.
= 3 / (1 + 0 + √(1 + 0 + 0))
= 3 / (1 + √1)
= 3 / (1 + 1)
= 3 / 2.

Jadi, lim x→∞ (x + 2 - √(x² + x + 1)) = 3/2.