Limas beraturan T.PQRS mempunyai alas berbentuk persegi

Jarak titik P ke rusuk TR adalah 5 * sqrt(3) cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik P terhadap rusuk TR pada limas beraturan T.PQRS dengan alas persegi panjang PQ=8 cm, QR=6 cm, dan TP=10 cm, kita perlu menggunakan konsep geometri ruang. Pertama, kita perlu mencari panjang diagonal alas PR. Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku PQR, PR^2 = PQ^2 + QR^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100, sehingga PR = 10 cm. Karena limas beraturan, maka diagonal alas lainnya QS juga 10 cm. Tinggi limas (TO, di mana O adalah titik tengah alas) dapat dicari dengan menggunakan segitiga siku-siku TOP, di mana OP adalah setengah dari diagonal PR, jadi OP = 10/2 = 5 cm. Maka TO^2 = TP^2 - OP^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75, sehingga TO = sqrt(75) = 5 * sqrt(3) cm. Selanjutnya, kita perlu mencari luas segitiga PQR. Luas PQR = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * PQ * QR = 1/2 * 8 * 6 = 24 cm^2. Luas segitiga TQR dapat dicari dengan mencari tinggi limas pada bidang alas. Tinggi limas pada sisi QR (misal dari T ke titik tengah QR, sebut saja M) adalah TM. OM = PQ/2 = 8/2 = 4 cm. TM^2 = TO^2 + OM^2 = 75 + 4^2 = 75 + 16 = 91, sehingga TM = sqrt(91) cm. Luas TQR = 1/2 * QR * TM = 1/2 * 6 * sqrt(91) = 3 * sqrt(91) cm^2. Dengan cara yang sama, tinggi limas pada sisi PQ (misal dari T ke titik tengah PQ, sebut saja N) adalah TN. ON = QR/2 = 6/2 = 3 cm. TN^2 = TO^2 + ON^2 = 75 + 3^2 = 75 + 9 = 84, sehingga TN = sqrt(84) = 2 * sqrt(21) cm. Luas TPQ = 1/2 * PQ * TN = 1/2 * 8 * 2 * sqrt(21) = 8 * sqrt(21) cm^2. Karena TP = TQ = TR = 10 cm, segitiga TPR dan TQR adalah segitiga sama kaki. Jarak titik P ke rusuk TR dapat dicari dengan menggunakan rumus luas segitiga TQR, yaitu luas = 1/2 * alas * tinggi. Kita bisa menggunakan TR sebagai alas dan jarak P ke TR sebagai tingginya. Namun, karena T.PQRS adalah limas beraturan, maka kita bisa menggunakan prinsip kesamaan segitiga atau proyeksi. Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari luas segitiga TPR. Alasnya adalah PR = 10 cm, dan tinggi limas TO = 5 * sqrt(3) cm. Luas segitiga TPR = 1/2 * PR * TO = 1/2 * 10 * 5 * sqrt(3) = 25 * sqrt(3) cm^2. Untuk mencari jarak titik P ke rusuk TR, kita perlu mencari luas segitiga TPR dengan alas TR. Karena TP=10, TR=10, maka segitiga TPR adalah segitiga sama kaki. Kita perlu mencari tinggi dari P ke TR. Tinggi ini bisa dicari dengan menggunakan rumus luas segitiga TPR dengan alas TR. Untuk itu, kita perlu mencari panjang TR. TR adalah diagonal sisi alas persegi panjang. Oh, tunggu, TR adalah rusuk tegak, dan pada limas beraturan, semua rusuk tegak sama panjang, jadi TR = 10 cm. Segitiga TPR memiliki sisi TP = 10 cm, TR = 10 cm, dan PR = 10 cm. Jadi, segitiga TPR adalah segitiga sama sisi. Jarak titik P ke rusuk TR adalah tinggi segitiga TPR jika alasnya adalah TR. Karena TPR adalah segitiga sama sisi dengan sisi 10 cm, tinggi segitiga tersebut adalah (sisi * sqrt(3)) / 2 = (10 * sqrt(3)) / 2 = 5 * sqrt(3) cm.