Limas segi empat teratur T.ABCD dengan AB=6 dan TA=5. Titik

3/4

Pembahasan

Untuk mencari sinus sudut antara TQ dan TAD, kita perlu menentukan vektor-vektor yang mewakili garis-garis tersebut dan bidang TAD, kemudian menggunakan konsep perkalian titik (dot product) atau rumus trigonometri. 

Diketahui:
- Limas segi empat beraturan T.ABCD
- AB = 6, sehingga BC = 6
- TA = 5
- P adalah titik tengah TC
- R adalah titik tengah AD
- Q adalah pusat ABCD

Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat menggunakan sistem koordinat.
Misalkan Q adalah titik asal (0,0,0).
Karena ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 6 dan Q adalah pusatnya:
- A = (-3, -3, 0)
- B = (3, -3, 0)
- C = (3, 3, 0)
- D = (-3, 3, 0)

Untuk mencari koordinat T, kita perlu tinggi limas. Misalkan titik proyeksi T pada bidang ABCD adalah Q. Maka TQ adalah tinggi limas. 
Dalam segitiga siku-siku TQA (dengan QA adalah setengah diagonal AC):
Panjang diagonal AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(6^2 + 6^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6 * sqrt(2)
Panjang QA = 1/2 * AC = 1/2 * 6 * sqrt(2) = 3 * sqrt(2)

Dengan menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TQA:
TA^2 = TQ^2 + QA^2
5^2 = TQ^2 + (3 * sqrt(2))^2
25 = TQ^2 + 18
TQ^2 = 25 - 18 = 7
TQ = sqrt(7)

Jadi, koordinat T = (0, 0, sqrt(7)).

Sekarang kita cari vektor-vektor yang relevan:
Vektor TQ = Q - T = (0, 0, 0) - (0, 0, sqrt(7)) = (0, 0, -sqrt(7))

Untuk bidang TAD, kita bisa menggunakan vektor TA dan TD.
Vektor TA = A - T = (-3, -3, 0) - (0, 0, sqrt(7)) = (-3, -3, -sqrt(7))
Vektor TD = D - T = (-3, 3, 0) - (0, 0, sqrt(7)) = (-3, 3, -sqrt(7))

Kita perlu mencari sudut antara garis TQ dan bidang TAD. Sudut ini adalah 90 derajat dikurangi sudut antara TQ dan vektor normal bidang TAD. Atau, kita bisa mencari sudut antara TQ dan proyeksinya pada bidang TAD. Cara yang lebih mudah adalah dengan mencari sudut antara TQ dan garis di bidang TAD yang paling dekat arahnya dengan TQ. Namun, soal meminta sin <(TQ,TAD) yang berarti sinus dari sudut antara garis TQ dan bidang TAD.

Sudut $	heta$ antara garis yang direpresentasikan oleh vektor $oldsymbol{v}$ dan bidang dengan vektor normal $oldsymbol{n}$ diberikan oleh:
$sin(	heta) = | oldsymbol{v} oldsymbol{	imes} oldsymbol{n} | / (|oldsymbol{v}| |oldsymbol{n}|)$ 
Atau,
jika $eta$ adalah sudut antara $oldsymbol{v}$ dan $oldsymbol{n}$, maka $	heta = 90^	ext{o} - eta$, sehingga $sin(	heta) = cos(eta) = |oldsymbol{v} oldsymbol{ullet} oldsymbol{n}| / (|oldsymbol{v}| |oldsymbol{n}|)$.

Kita perlu vektor normal bidang TAD. Vektor normal $oldsymbol{n}$ dapat diperoleh dari perkalian silang vektor TA dan TD.
$oldsymbol{n} = oldsymbol{TA} 	imes oldsymbol{TD} = egin{vmatrix} oldsymbol{i} & oldsymbol{j} & oldsymbol{k} \ -3 & -3 & -	ext{sqrt}(7) \ -3 & 3 & -	ext{sqrt}(7) 

= oldsymbol{i}((-	ext{sqrt}(7) 	imes 3) - (-	ext{sqrt}(7) 	imes 3)) - oldsymbol{j}((-3 	imes -	ext{sqrt}(7)) - (-	ext{sqrt}(7) 	imes -3)) + oldsymbol{k}((-3 	imes 3) - (-3 	imes -3))
= oldsymbol{i}(-3	ext{sqrt}(7) + 3	ext{sqrt}(7)) - oldsymbol{j}(3	ext{sqrt}(7) - 3	ext{sqrt}(7)) + oldsymbol{k}(-9 - 9)
= oldsymbol{i}(0) - oldsymbol{j}(0) + oldsymbol{k}(-18)
= (0, 0, -18)

Ambil vektor normal $oldsymbol{n} = (0, 0, 1)$ (mengecilkan agar lebih mudah).

Sekarang hitung:
$oldsymbol{v} = oldsymbol{TQ} = (0, 0, -	ext{sqrt}(7))$
$|oldsymbol{v}| = 	ext{sqrt}(0^2 + 0^2 + (-	ext{sqrt}(7))^2) = 	ext{sqrt}(7)$
$|oldsymbol{n}| = 	ext{sqrt}(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1$

$oldsymbol{v} oldsymbol{ullet} oldsymbol{n} = (0)(0) + (0)(0) + (-	ext{sqrt}(7))(1) = -	ext{sqrt}(7)$

$sin(	heta) = |oldsymbol{v} oldsymbol{ullet} oldsymbol{n}| / (|oldsymbol{v}| |oldsymbol{n}|) = |-	ext{sqrt}(7)| / (	ext{sqrt}(7) * 1) = 	ext{sqrt}(7) / 	ext{sqrt}(7) = 1$.

Alternatif: Cari sudut antara TQ dan proyeksinya pada bidang TAD. 
Proyeksi TQ pada bidang TAD adalah TQ itu sendiri karena TQ tegak lurus terhadap bidang alas, dan TAD adalah bidang yang tidak tegak lurus bidang alas. 

Cara lain: Sudut antara garis dan bidang adalah sudut terkecil antara garis tersebut dan garis manapun yang terletak pada bidang tersebut. Sudut ini sama dengan 90 derajat dikurangi sudut antara garis tersebut dan vektor normal bidang.

Kembali ke definisi sinus sudut antara garis dan bidang: sinus sudut adalah rasio antara panjang proyeksi garis pada bidang normal terhadap bidang dengan panjang garis itu sendiri.

Vektor TQ = (0, 0, -sqrt(7))
Bidang TAD dibentuk oleh vektor TA = (-3, -3, -sqrt(7)) dan TD = (-3, 3, -sqrt(7)).

Cari vektor di bidang TAD yang membentuk sudut terkecil dengan TQ. 
Karena TQ tegak lurus dengan bidang alas (sumbu x, y), maka sudut antara TQ dan setiap garis di bidang TAD akan bergantung pada orientasi bidang TAD.

Mari kita gunakan definisi sinus sudut antara garis dan bidang: $	ext{sin } 	heta = rac{|	ext{proyeksi vektor arah garis pada vektor normal bidang}|}{|	ext{vektor arah garis}|}$.
Vektor arah garis TQ adalah $oldsymbol{v} = oldsymbol{Q} - oldsymbol{T} = (0,0,0) - (0,0,	ext{sqrt}(7)) = (0,0,-	ext{sqrt}(7))$. 
Atau bisa juga $oldsymbol{v} = oldsymbol{T} - oldsymbol{Q} = (0,0,	ext{sqrt}(7))$. Kita ambil $oldsymbol{v} = (0,0,	ext{sqrt}(7))$.

Bidang TAD. Kita perlu vektor normal $oldsymbol{n}$ ke bidang TAD. Kita sudah hitung $oldsymbol{n} = (0, 0, -18)$ dari $oldsymbol{TA} 	imes oldsymbol{TD}$. Kita bisa gunakan $oldsymbol{n} = (0,0,1)$.

$|oldsymbol{v}| = 	ext{sqrt}(0^2+0^2+(	ext{sqrt}(7))^2) = 	ext{sqrt}(7)$.
$|oldsymbol{n}| = 1$.

Proyeksi $oldsymbol{v}$ pada $oldsymbol{n}$ adalah $rac{oldsymbol{v} oldsymbol{ullet} oldsymbol{n}}{|oldsymbol{n}|} = rac{(0,0,	ext{sqrt}(7)) oldsymbol{ullet} (0,0,1)}{1} = 	ext{sqrt}(7)$.

$|	ext{proyeksi vektor arah garis pada vektor normal bidang}| = |	ext{sqrt}(7)| = 	ext{sqrt}(7)$.

$sin(	heta) = rac{	ext{sqrt}(7)}{	ext{sqrt}(7)} = 1$.

Ini berarti sudut antara garis TQ dan bidang TAD adalah 90 derajat. Mari kita cek apakah ini masuk akal.
Vektor TQ adalah vektor tinggi limas. Bidang TAD adalah salah satu sisi tegak limas. Jika sisi tegak limas tegak lurus terhadap bidang alas, maka garis TQ akan sejajar dengan sisi tegak tersebut. Namun, ini bukan kasusnya.

Ada kemungkinan kesalahan dalam interpretasi atau perhitungan vektor normal.

Mari kita coba cara lain: Cari sudut antara TQ dan proyeksinya pada bidang TAD. Proyeksi TQ pada bidang TAD adalah garis dari T ke proyeksi Q pada bidang TAD. Karena Q adalah titik asal dan T adalah (0,0,sqrt(7)), proyeksi Q pada bidang TAD tidak terdefinisi dengan mudah tanpa mengetahui posisi bidang TAD.

Kembali ke soal: sin <(TQ,TAD). 
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dan proyeksinya pada bidang tersebut.

Kita perlu menentukan vektor arah dari garis di bidang TAD yang tegak lurus terhadap TQ. 

Mari kita kembali ke vektor normal bidang TAD.
$oldsymbol{n} = oldsymbol{TA} 	imes oldsymbol{TD} = (0, 0, -18)$. Vektor ini tegak lurus terhadap bidang TAD. 

Vektor TQ = (0, 0, sqrt(7)).

Sudut $	heta$ antara garis TQ dan bidang TAD.
Sinus sudut antara garis dengan arah vektor $oldsymbol{v}$ dan bidang dengan vektor normal $oldsymbol{n}$ adalah $|rac{oldsymbol{v} oldsymbol{ullet} oldsymbol{n}}{|oldsymbol{v}| |oldsymbol{n}|}|$.

$oldsymbol{v} = (0, 0, 	ext{sqrt}(7))$ (vektor TQ)
$oldsymbol{n} = (0, 0, 1)$ (vektor normal bidang TAD)
$|oldsymbol{v}| = 	ext{sqrt}(7)$
$|oldsymbol{n}| = 1$
$oldsymbol{v} oldsymbol{ullet} oldsymbol{n} = (	ext{sqrt}(7)) 	imes 1 = 	ext{sqrt}(7)$

$|rac{oldsymbol{v} oldsymbol{ullet} oldsymbol{n}}{|oldsymbol{v}| |oldsymbol{n}|}| = |rac{	ext{sqrt}(7)}{	ext{sqrt}(7) 	imes 1}| = 1$.

Hasil 1 berarti sudutnya 90 derajat. Ini masih terasa salah karena TQ adalah tinggi limas dan TAD adalah sisi tegak.

Ada kemungkinan bahwa vektor normal yang kita hitung dari TA x TD adalah vektor normal ke bidang yang melalui T, A, dan D. 

Mari kita periksa kembali vektor normal.
$oldsymbol{TA} = (-3, -3, -	ext{sqrt}(7))$
$oldsymbol{TD} = (-3, 3, -	ext{sqrt}(7))$

$oldsymbol{n} = oldsymbol{TA} 	imes oldsymbol{TD} = egin{vmatrix} oldsymbol{i} & oldsymbol{j} & oldsymbol{k} \ -3 & -3 & -	ext{sqrt}(7) \ -3 & 3 & -	ext{sqrt}(7) 

= oldsymbol{i}(3	ext{sqrt}(7) - (-3	ext{sqrt}(7))) - oldsymbol{j}(3	ext{sqrt}(7) - 3	ext{sqrt}(7)) + oldsymbol{k}(-9 - 9)
= oldsymbol{i}(6	ext{sqrt}(7)) - oldsymbol{j}(0) + oldsymbol{k}(-18)
= (6	ext{sqrt}(7), 0, -18)$

Kita bisa sederhanakan vektor normal menjadi $oldsymbol{n}' = (	ext{sqrt}(7), 0, -3)$.

Sekarang hitung sudut antara $oldsymbol{v} = oldsymbol{TQ} = (0,0,	ext{sqrt}(7))$ dan $oldsymbol{n}' = (	ext{sqrt}(7), 0, -3)$.
$|oldsymbol{v}| = 	ext{sqrt}(7)$
$|oldsymbol{n}'| = 	ext{sqrt}((	ext{sqrt}(7))^2 + 0^2 + (-3)^2) = 	ext{sqrt}(7 + 0 + 9) = 	ext{sqrt}(16) = 4$.

$oldsymbol{v} oldsymbol{ullet} oldsymbol{n}' = (0)(	ext{sqrt}(7)) + (0)(0) + (	ext{sqrt}(7))(-3) = -3	ext{sqrt}(7)$.

$|rac{oldsymbol{v} oldsymbol{ullet} oldsymbol{n}'}{|oldsymbol{v}| |oldsymbol{n}'|}| = |rac{-3	ext{sqrt}(7)}{	ext{sqrt}(7) 	imes 4}| = |rac{-3}{4}| = rac{3}{4}$.

Jadi, sin <(TQ,TAD) = 3/4.

Mari kita cek apakah P dan R relevan untuk soal ini. P dan R adalah titik tengah TC dan AD. Ini tidak digunakan dalam perhitungan sinus sudut antara TQ dan bidang TAD. Mungkin ada cara lain untuk menyelesaikannya yang menggunakan P dan R, atau soal ini hanya meminta sinus sudut tersebut saja.

Jika soal ini meminta sinus sudut antara TQ dan bidang TAD, maka hasilnya adalah 3/4.

Perlu diperhatikan bahwa soal ini meminta sin <(TQ,TAD) T A B C D, yang mungkin mengindikasikan bahwa kita perlu mencari sudut antara garis TQ dan bidang TAD. Dalam notasi ini, T.ABCD adalah limas segi empat beraturan.

Untuk mengkonfirmasi, mari kita lihat apakah ada cara lain untuk mendefinisikan sudut tersebut.

Jika kita mengambil titik pada bidang TAD yang merupakan proyeksi Q pada bidang TAD, ini akan rumit. 

Cara yang paling standar untuk mencari sinus sudut antara garis dan bidang adalah menggunakan vektor arah garis dan vektor normal bidang.

Kita sudah mendapatkan $oldsymbol{v} = oldsymbol{TQ} = (0,0,	ext{sqrt}(7))$ dan $oldsymbol{n}' = (	ext{sqrt}(7), 0, -3)$ sebagai vektor normal bidang TAD.

Hasil sinusnya adalah 3/4.

Perlu dipastikan lagi, apakah ada informasi yang terlewat?