Limas segi enam beraturan T.ABCDEF mem-punyai panjang rusuk

Nilai sin alpha adalah 2√5 / 5.

Pembahasan

Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk alas (s) = 8 cm dan tinggi limas (t) = 8√3 cm. Sudut alpha adalah sudut antara bidang TAB dan bidang alas limas.
Untuk mencari nilai sin alpha, kita perlu menentukan proyeksi garis pada bidang alas. Misalkan O adalah pusat segienam alas dan P adalah titik tengah rusuk AB.

Dalam segitiga siku-siku TPO:
TO = tinggi limas = 8√3 cm
OP = apotema segienam beraturan. Jari-jari lingkaran luar segienam sama dengan panjang rusuknya, yaitu 8 cm. Apotema (OP) dapat dihitung dengan rumus: OP = s * cos(30°) = 8 * (√3/2) = 4√3 cm.

TP adalah tinggi segitiga sama kaki TAB. Kita bisa menghitung TP menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TPO:
TP^2 = TO^2 + OP^2 = (8√3)^2 + (4√3)^2 = (64 * 3) + (16 * 3) = 192 + 48 = 240
TP = √240 = √(16 * 15) = 4√15 cm.

Alpha adalah sudut antara bidang TAB dan bidang alas, yang sama dengan sudut TPO dalam segitiga siku-siku TPO.
Dalam segitiga siku-siku TPO:
sin(alpha) = TO / TP = (8√3) / (4√15) = (2√3) / √15 = (2√3 * √15) / 15 = (2√45) / 15 = (2 * 3√5) / 15 = 6√5 / 15 = 2√5 / 5.

Jadi, nilai sin alpha adalah 2√5 / 5.