limit x->0 (1-cos^2(x)-cos x sin^2(x))/(x^4)= ....

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.
Kita tahu bahwa 1 - cos^2(x) = sin^2(x).
Maka, ekspresi menjadi:
lim x->0 (sin^2(x) - cos x sin^2(x)) / x^4
Faktorkan sin^2(x):
lim x->0 (sin^2(x) * (1 - cos x)) / x^4
Kita bisa memisahkan limit ini menjadi beberapa bagian:
lim x->0 (sin^2(x) / x^2) * lim x->0 ((1 - cos x) / x^2)
Kita tahu bahwa lim x->0 (sin x / x) = 1, sehingga lim x->0 (sin^2(x) / x^2) = 1^2 = 1.
Untuk bagian kedua, lim x->0 ((1 - cos x) / x^2), kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya 0/0.
Turunkan pembilang dan penyebutnya:
lim x->0 (sin x / 2x)
Ini masih berbentuk 0/0, jadi turunkan lagi:
lim x->0 (cos x / 2) = cos(0) / 2 = 1 / 2.
Jadi, hasil limit keseluruhannya adalah:
1 * (1/2) = 1/2.
Namun, perlu diperhatikan bahwa ada kesalahan dalam penyederhanaan awal. Mari kita koreksi:
lim x->0 (1-cos^2(x)-cos x sin^2(x))/(x^4)
= lim x->0 (sin^2(x) - cos x sin^2(x))/(x^4)
= lim x->0 (sin^2(x) * (1 - cos x))/(x^4)
= lim x->0 (sin x / x) * lim x->0 (sin x / x) * lim x->0 ((1 - cos x) / x^2)
= 1 * 1 * (1/2) = 1/2

Namun, jika kita melihat soal aslinya, ada potensi kesalahan ketik atau pemahaman. Mari kita asumsikan soal yang benar adalah seperti berikut:
lim x->0 (1 - cos(x)) / x^2 = 1/2
Jika soalnya adalah:
lim x->0 (1 - cos^2(x)) / x^2 = lim x->0 (sin^2(x)) / x^2 = 1

Dengan asumsi soal yang diberikan adalah benar:
lim x->0 (1-cos^2(x)-cos x sin^2(x))/(x^4)
= lim x->0 (sin^2(x) - cos x sin^2(x))/(x^4)
= lim x->0 sin^2(x)(1 - cos x) / x^4
Kita tahu bahwa sin x ≈ x untuk x mendekati 0, dan 1 - cos x ≈ x^2/2 untuk x mendekati 0.
Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 (x^2)(x^2/2) / x^4
= lim x->0 (x^4/2) / x^4
= 1/2

Jawaban yang lebih tepat berdasarkan soal yang diberikan adalah 1/2.