limit x -> 0 ((1-cos(2x))/(xtan((1/2)x))= ...

4

Pembahasan

Untuk menentukan limit \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x \tan(\frac{1}{2}x)}\), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit. Pertama, gunakan identitas \(1 - \cos(2x) = 2 \sin^2(x)\) dan \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\).
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x \tan(\frac{1}{2}x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(x)}{x \frac{\sin(\frac{1}{2}x)}{\cos(\frac{1}{2}x)}} \]
Kita tahu bahwa \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}\) dan \(\lim_{x \to 0} \cos(x) = 1\).
Kita dapat menulis ulang ekspresi tersebut menjadi:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(x) \sin(x)}{x \sin(\frac{1}{2}x)} \cdot \cos(\frac{1}{2}x) \]
Pisahkan limitnya:
\[ 2 \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\right) \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{\sin(\frac{1}{2}x)}\right) \cdot \left(\lim_{x \to 0} \cos(\frac{1}{2}x)\right) \]
Untuk \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\), hasilnya adalah 1.
Untuk \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{\sin(\frac{1}{2}x)}\), kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut dengan \(x\) dan \(\frac{1}{2}x\) agar sesuai dengan bentuk \(\frac{\sin(u)}{u}\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{\frac{1}{2}x}{\sin(\frac{1}{2}x)} \cdot \frac{x}{\frac{1}{2}x} = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2 \]
Untuk \(\lim_{x \to 0} \cos(\frac{1}{2}x)\), hasilnya adalah \(\cos(0) = 1\).
Jadi, keseluruhan limitnya adalah:
\[ 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 4 \]