limit x->0 (1-cos^3x)/(xtanx)=...

3/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit x->0 (1-cos^3x)/(xtanx)

Turunkan pembilang (1-cos^3x):
d/dx (1-cos^3x) = 0 - 3cos^2x(-sinx) = 3cos^2xsinx

Turunkan penyebut (xtanx):
d/dx (xtanx) = (1)tanx + x(sec^2x) = tanx + xsec^2x

Sekarang limitnya menjadi:
Limit x->0 (3cos^2xsinx)/(tanx + xsec^2x)

Substitusikan x=0:
(3cos^2(0)sin(0))/(tan(0) + 0sec^2(0))
(3 * 1^2 * 0) / (0 + 0 * 1^2)
0 / 0

Karena masih dalam bentuk tak tentu 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunkan pembilang (3cos^2xsinx):
d/dx (3cos^2xsinx) = d/dx (3cos^2x)sinx + 3cos^2x (d/dx sinx)
= (6cosx(-sinx))sinx + 3cos^2x(cosx)
= -6cos^2xsinx + 3cos^3x

Turunkan penyebut (tanx + xsec^2x):
d/dx (tanx + xsec^2x) = sec^2x + (1)sec^2x + x(2secx * secx * tanx)
= sec^2x + sec^2x + 2xsec^2x tanx
= 2sec^2x + 2xsec^2x tanx

Sekarang limitnya menjadi:
Limit x->0 (-6cos^2xsinx + 3cos^3x)/(2sec^2x + 2xsec^2x tanx)

Substitusikan x=0:
(-6cos^2(0)sin(0) + 3cos^3(0))/(2sec^2(0) + 2(0)sec^2(0)tan(0))
(-6 * 1^2 * 0 + 3 * 1^3) / (2 * 1^2 + 0)
(0 + 3) / 2
3 / 2

Jadi, limit x->0 (1-cos^3x)/(xtanx) adalah 3/2.