limit x->0 (sin(2x^2))/(X^2+xin^2(3x))= .....

Nilai limit adalah 1/5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena bentuknya adalah 0/0 jika kita substitusikan x=0.
Limit = lim (x→0) [sin(2x²)] / [x² + sin²(3x)]

Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang: d/dx [sin(2x²)] = cos(2x²) * 4x = 4x cos(2x²)
Turunan penyebut: d/dx [x² + sin²(3x)] = 2x + 2sin(3x) * cos(3x) * 3 = 2x + 6sin(3x)cos(3x)
Kita bisa menyederhanakan 6sin(3x)cos(3x) menggunakan identitas sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), sehingga 3sin(6x).
Jadi, turunan penyebut = 2x + 3sin(6x).

Limit baru menjadi: lim (x→0) [4x cos(2x²)] / [2x + 3sin(6x)]

Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk 0/0. Maka kita gunakan aturan L'Hôpital lagi.

Turunan pembilang baru: d/dx [4x cos(2x²)] = 4cos(2x²) + 4x(-sin(2x²)*4x) = 4cos(2x²) - 16x²sin(2x²)
Turunan penyebut baru: d/dx [2x + 3sin(6x)] = 2 + 3cos(6x)*6 = 2 + 18cos(6x)

Limit sekarang menjadi: lim (x→0) [4cos(2x²) - 16x²sin(2x²)] / [2 + 18cos(6x)]

Substitusikan x=0:
= [4cos(0) - 16(0)²sin(0)] / [2 + 18cos(0)]
= [4(1) - 0] / [2 + 18(1)]
= 4 / (2 + 18)
= 4 / 20
= 1/5

Alternatif menggunakan limit standar lim (x→0) sin(ax)/ax = 1:
limit x->0 (sin(2x²))/(X²+sin²(3x))
Bagi pembilang dan penyebut dengan x²:
limit x->0 [sin(2x²)/x²] / [1 + sin²(3x)/x²]
Untuk pembilang: limit x->0 [sin(2x²)/x²] = limit x->0 [sin(2x²)/(2x²)] * 2 = 1 * 2 = 2
Untuk penyebut: limit x->0 [1 + (sin(3x)/x)²] = limit x->0 [1 + (sin(3x)/(3x) * 3)²] = 1 + (1 * 3)² = 1 + 9 = 10

Jadi, limitnya adalah 2 / 10 = 1/5.