limit x -> 0 (sin 4x+sin 2x)/(3x cos x)= ......

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x + \sin 2x}{3x \cos x}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau memanipulasi ekspresi menggunakan identitas trigonometri dan limit standar $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

Menggunakan identitas trigonometri jumlah sinus: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$.
$\sin 4x + \sin 2x = 2 \sin \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} = 2 \sin 3x \cos x$.

Maka, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 3x \cos x}{3x \cos x}$
Kita bisa membatalkan $\cos x$ karena untuk $x \to 0$, $\cos x \to \cos 0 = 1$ (bukan nol).
$= \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 3x}{3x}$
Untuk menggunakan limit standar $\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$, kita perlu membuat argumen sinus sama dengan penyebutnya. Kalikan pembilang dan penyebut dengan 3:
$= \lim_{x \to 0} \frac{2 	imes 3 \sin 3x}{3x 	imes 3}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{6 \sin 3x}{9x}$
Kita bisa memisahkan konstanta:
$= \frac{6}{9} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$
Agar sesuai dengan bentuk $\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}$, kalikan dengan 3/3:
$= \frac{6}{9} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \times 3$
$= \frac{6}{9} \times 1 \times 3$
$= \frac{18}{9}$
$= 2$.

Jadi, limitnya adalah 2.