limit x->0 (sin (4x) . tan^2 (3x) + 6x^2)/(2x^2 + sin (3x)

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit x->0 (sin (4x) . tan^2 (3x) + 6x^2)/(2x^2 + sin (3x) cos (2x))

Kita akan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x:

Turunan Pembilang:
d/dx [sin(4x) * tan^2(3x) + 6x^2]
= [cos(4x) * 4 * tan^2(3x) + sin(4x) * 2 * tan(3x) * sec^2(3x) * 3] + 12x
= 4cos(4x)tan^2(3x) + 6sin(4x)tan(3x)sec^2(3x) + 12x

Turunan Penyebut:
d/dx [2x^2 + sin(3x)cos(2x)]
= 4x + [cos(3x) * 3 * cos(2x) + sin(3x) * (-sin(2x)) * 2]
= 4x + 3cos(3x)cos(2x) - 2sin(3x)sin(2x)

Sekarang, substitusikan x = 0 ke dalam turunan pembilang dan penyebut:

Nilai Pembilang pada x=0:
4cos(0)tan^2(0) + 6sin(0)tan(0)sec^2(0) + 12(0) = 4(1)(0) + 6(0)(0)(1) + 0 = 0

Nilai Penyebut pada x=0:
4(0) + 3cos(0)cos(0) - 2sin(0)sin(0) = 0 + 3(1)(1) - 2(0)(0) = 3

Jadi, nilai limitnya adalah 0/3 = 0.

Alternatif lain tanpa L'Hopital dengan menggunakan pendekatan limit standar:
lim x->0 (sin ax)/ax = 1 dan lim x->0 (tan ax)/ax = 1

Limit x->0 (sin (4x) . tan^2 (3x) + 6x^2)/(2x^2 + sin (3x) cos (2x))
Bagi pembilang dan penyebut dengan x^2:

lim x->0 [ (sin(4x)/x) * (tan^2(3x)/x) + 6 ] / [ 2 + (sin(3x)/x) * cos(2x) ]

Kita perlu mengatur ulang agar sesuai dengan bentuk limit standar:

lim x->0 [ (sin(4x)/(4x)) * 4 * (tan(3x)/(3x))^2 * (3x)^2 / x + 6 ] / [ 2 + (sin(3x)/(3x)) * 3 * cos(2x) ]

Perhatikan bahwa (tan^2(3x)/x) menjadi (tan(3x)/x)^2 * (tan(3x)/1) = (3)^2 * tan(3x) -> 0 saat x->0.
Cara yang lebih tepat adalah membagi semua suku dengan x^2:

lim x->0 [ (sin(4x)/x) * (tan(3x)/x) * tan(3x) + 6 ] / [ 2 + (sin(3x)/x) * cos(2x) ]

lim x->0 [ (sin(4x)/4x)*4 * (tan(3x)/3x)*3 * tan(3x) + 6 ] / [ 2 + (sin(3x)/3x)*3 * cos(2x) ]

Saat x -> 0:
sin(4x)/4x -> 1
tan(3x)/3x -> 1
tan(3x) -> 0
cos(2x) -> 1

Jadi, limitnya menjadi:
[ 1 * 4 * 1 * 3 * 0 + 6 ] / [ 2 + 1 * 3 * 1 ]
= [ 0 + 6 ] / [ 2 + 3 ]
= 6 / 5

Mohon maaf, ada kesalahan dalam perhitungan awal menggunakan L'Hopital atau manipulasi aljabar. Mari kita perbaiki.

Mari gunakan pendekatan yang lebih sederhana dengan membagi pembilang dan penyebut dengan suku berpangkat tertinggi di penyebut, yaitu x^2.

Limit x->0 [ (sin (4x) . tan^2 (3x))/x^2 + 6x^2/x^2 ] / [ 2x^2/x^2 + (sin (3x) cos (2x))/x^2 ]

Kita tahu bahwa: lim x->0 (sin ax)/ax = 1 dan lim x->0 (tan ax)/ax = 1

Suku pertama di pembilang:
lim x->0 (sin(4x) * tan^2(3x)) / x^2
= lim x->0 [ (sin(4x)/x) * (tan(3x)/x) * tan(3x) ]
= lim x->0 [ (sin(4x)/4x)*4 * (tan(3x)/3x)*3 * tan(3x) ]
Saat x->0, ini menjadi: 1 * 4 * 1 * 3 * 0 = 0

Suku kedua di pembilang:
lim x->0 6x^2/x^2 = 6

Suku pertama di penyebut:
lim x->0 2x^2/x^2 = 2

Suku kedua di penyebut:
lim x->0 (sin(3x) cos(2x)) / x^2
= lim x->0 [ (sin(3x)/x) * cos(2x) / x ]
= lim x->0 [ (sin(3x)/3x)*3 * cos(2x) / x ]
Ini akan menuju tak hingga karena ada faktor 1/x.

Mari kita tinjau kembali soalnya, mungkin ada kesalahan dalam penulisan soal atau saya dalam memahami.

Jika soalnya adalah limit x->0 (sin (4x) . tan (3x) + 6x^2)/(2x^2 + sin (3x) cos (2x)), maka:
Bagi pembilang dan penyebut dengan x^2:
lim x->0 [ (sin(4x)/x) * (tan(3x)/x) + 6 ] / [ 2 + (sin(3x)/x) * (cos(2x)/x) ] -> pembilang 1*4*1*3 + 6 = 18, penyebut 2 + (1*3)*(1/x) -> tak hingga

Jika soalnya adalah limit x->0 (sin (4x) . tan (3x) + 6x^2)/(2x^2 + sin (3x))
Bagi pembilang dan penyebut dengan x^2:
lim x->0 [ (sin(4x)/x) * (tan(3x)/x) + 6 ] / [ 2 + (sin(3x)/x)/x ] -> pembilang 1*4*1*3 + 6 = 18, penyebut 2 + (1*3)/x -> tak hingga

Mari kita coba manipulasi lain pada soal asli:
limit x->0 (sin (4x) . tan^2 (3x) + 6x^2)/(2x^2 + sin (3x) cos (2x))

Kita tahu bahwa untuk x mendekati 0:
sin(ax) ≈ ax
tan(ax) ≈ ax
cos(ax) ≈ 1

Maka, pembilang ≈ (4x) * (3x)^2 + 6x^2 = 4x * 9x^2 + 6x^2 = 36x^3 + 6x^2
Penyebut ≈ 2x^2 + (3x) * 1 = 2x^2 + 3x

Limit ≈ (36x^3 + 6x^2) / (2x^2 + 3x)
Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
Limit ≈ (36x^2 + 6x) / (2x + 3)
Saat x -> 0, Limit ≈ (0 + 0) / (0 + 3) = 0/3 = 0.

Ini konsisten dengan hasil L'Hopital jika turunan pertama sudah memberikan hasil yang pasti.
Mari kita periksa kembali turunan pertama:
Pembilang: 4cos(4x)tan^2(3x) + 6sin(4x)tan(3x)sec^2(3x) + 12x
Pada x=0: 4(1)(0) + 6(0)(0)(1) + 0 = 0
Penyebut: 4x + 3cos(3x)cos(2x) - 2sin(3x)sin(2x)
Pada x=0: 0 + 3(1)(1) - 2(0)(0) = 3

Hasilnya memang 0/3 = 0.

Jadi, nilai limitnya adalah 0.