limit x->0 ((x^2-4) sin 3x)/(x^3-x^2-2x)=...

6

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit $\lim_{x\to 0} \frac{(x^2-4) \sin 3x}{x^3-x^2-2x}$, kita bisa menggunakan substitusi langsung terlebih dahulu. Namun, jika kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut.

Substitusi $x=0$ ke dalam pembilang: $(0^2-4) \sin(3 	imes 0) = (-4) 	imes 0 = 0$.
Substitusi $x=0$ ke dalam penyebut: $0^3 - 0^2 - 2 	imes 0 = 0$.
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita perlu menyederhanakan.

Faktorkan penyebutnya: $x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) = x(x-2)(x+1)$.

Pertidaksamaan menjadi: $\lim_{x\to 0} \frac{(x^2-4) \sin 3x}{x(x-2)(x+1)}$

Kita bisa memisahkan suku-sukunya:
$\lim_{x\to 0} \frac{x^2-4}{x-2} \times \frac{\sin 3x}{x} \times \frac{1}{x+1}$

Sekarang kita evaluasi setiap bagian:
1. $\lim_{x\to 0} \frac{x^2-4}{x-2}$: Substitusi $x=0$ memberikan $\frac{0^2-4}{0-2} = \frac{-4}{-2} = 2$.
2. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{x}$: Kita tahu bahwa $\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin a\theta}{b\theta} = \frac{a}{b}$. Dalam kasus ini, $a=3$ dan $b=1$, sehingga limitnya adalah $3$.
3. $\lim_{x\to 0} \frac{1}{x+1}$: Substitusi $x=0$ memberikan $\frac{1}{0+1} = 1$.

Kalikan hasil dari setiap bagian:
$2 	imes 3 	imes 1 = 6$.

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 6.