limit x -> 0 (x sin x)/(1-cos 4x) = ....

Nilai limitnya adalah 1/8.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x -> 0 (x sin x)/(1-cos 4x), kita dapat menggunakan beberapa aturan L'Hôpital atau identitas trigonometri.

Metode 1: Menggunakan identitas trigonometri.
Kita tahu bahwa 1 - cos(2θ) = 2 sin²(θ). Maka, 1 - cos(4x) = 2 sin²(2x).
Limitnya menjadi: lim (x→0) [x sin x / (2 sin²(2x))]
Kita juga tahu bahwa untuk x mendekati 0, sin(x) ≈ x.
Maka, limitnya menjadi: lim (x→0) [x * x / (2 * (2x)²)]
= lim (x→0) [x² / (2 * 4x²)]
= lim (x→0) [x² / (8x²)]
= 1/8

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hôpital.
Karena substitusi langsung menghasilkan bentuk 0/0, kita bisa menggunakan Aturan L'Hôpital.
Turunan dari pembilang (x sin x) adalah sin x + x cos x.
Turunan dari penyebut (1 - cos 4x) adalah 4 sin 4x.
Limitnya menjadi: lim (x→0) [(sin x + x cos x) / (4 sin 4x)]
Substitusi lagi x = 0 menghasilkan (0 + 0) / 0, yang masih 0/0. Terapkan L'Hôpital lagi.
Turunan dari (sin x + x cos x) adalah cos x + cos x - x sin x = 2 cos x - x sin x.
Turunan dari (4 sin 4x) adalah 16 cos 4x.
Limitnya menjadi: lim (x→0) [(2 cos x - x sin x) / (16 cos 4x)]
Sekarang substitusi x = 0:
= (2 cos 0 - 0 sin 0) / (16 cos 0)
= (2 * 1 - 0) / (16 * 1)
= 2 / 16
= 1/8

Jadi, nilai limitnya adalah 1/8.