limit x->1 (1-akar(2-x))/(x-1)= ....

Nilai dari limit tersebut adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan manipulasi aljabar karena substitusi langsung x=1 akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit yang diberikan adalah:
lim (x->1) [ (1 - sqrt(2 - x)) / (x - 1) ]

Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang, yaitu (1 + sqrt(2 - x)):

= lim (x->1) [ (1 - sqrt(2 - x)) / (x - 1) ] * [ (1 + sqrt(2 - x)) / (1 + sqrt(2 - x)) ]

Sekarang, kita kalikan pembilangnya menggunakan rumus (a-b)(a+b) = a^2 - b^2:

= lim (x->1) [ 1^2 - (sqrt(2 - x))^2 ] / [ (x - 1) * (1 + sqrt(2 - x)) ]

= lim (x->1) [ 1 - (2 - x) ] / [ (x - 1) * (1 + sqrt(2 - x)) ]

= lim (x->1) [ 1 - 2 + x ] / [ (x - 1) * (1 + sqrt(2 - x)) ]

= lim (x->1) [ x - 1 ] / [ (x - 1) * (1 + sqrt(2 - x)) ]

Karena (x - 1) muncul di pembilang dan penyebut, kita bisa membatalkannya (dengan asumsi x ≠ 1, yang memang benar saat kita mengambil limit):

= lim (x->1) [ 1 / (1 + sqrt(2 - x)) ]

Sekarang kita bisa melakukan substitusi langsung x = 1:

= 1 / (1 + sqrt(2 - 1))

= 1 / (1 + sqrt(1))

= 1 / (1 + 1)

= 1 / 2

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 1/2.