limit x -> 1/2 pi ((x-1/2 pi)^2 sin x)/cos^2 x=....

Limit dari fungsi tersebut adalah 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Limit yang diberikan adalah: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(x-\frac{\pi}{2})^2 \sin x}{\cos^2 x}$

Ketika $x \to \frac{\pi}{2}$, pembilang $(x-\frac{\pi}{2})^2 \sin x \to (0)^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 \times 1 = 0$.
Ketika $x \to \frac{\pi}{2}$, penyebut $\cos^2 x \to \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 0^2 = 0$.
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Mari kita cari turunan dari pembilang dan penyebut:
$f(x) = (x-\frac{\pi}{2})^2 \sin x$
Menggunakan aturan perkalian: $f'(x) = \frac{d}{dx}((x-\frac{\pi}{2})^2) \sin x + (x-\frac{\pi}{2})^2 \frac{d}{dx}(\sin x)$
$f'(x) = 2(x-\frac{\pi}{2}) \sin x + (x-\frac{\pi}{2})^2 \cos x$

$g(x) = \cos^2 x$
Menggunakan aturan rantai: $g'(x) = 2 \cos x \frac{d}{dx}(\cos x)$
$g'(x) = 2 \cos x (-\sin x)$
$g'(x) = -2 \sin x \cos x$

Sekarang kita hitung limit dari $\frac{f'(x)}{g'(x)}$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2(x-\frac{\pi}{2}) \sin x + (x-\frac{\pi}{2})^2 \cos x}{-2 \sin x \cos x}$

Substitusikan $x = \frac{\pi}{2}$:
Pembilang: $2(0) \sin(\frac{\pi}{2}) + (0)^2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \times 1 + 0 	imes 0 = 0$
Penyebut: $-2 \sin(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) = -2 	imes 1 	imes 0 = 0$

Kita masih mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, jadi kita perlu menerapkan aturan L'Hopital lagi.

Turunan kedua dari pembilang:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(2(x-\frac{\pi}{2}) \sin x + (x-\frac{\pi}{2})^2 \cos x)$
$f''(x) = [\frac{d}{dx}(2(x-\frac{\pi}{2})) \sin x + 2(x-\frac{\pi}{2}) \frac{d}{dx}(\sin x)] + [\frac{d}{dx}((x-\frac{\pi}{2})^2) \cos x + (x-\frac{\pi}{2})^2 \frac{d}{dx}(\cos x)]$
$f''(x) = [2 \sin x + 2(x-\frac{\pi}{2}) \cos x] + [2(x-\frac{\pi}{2}) \cos x + (x-\frac{\pi}{2})^2 (-\sin x)]$
$f''(x) = 2 \sin x + 4(x-\frac{\pi}{2}) \cos x - (x-\frac{\pi}{2})^2 \sin x$

Turunan kedua dari penyebut:
$g'(x) = -2 \sin x \cos x$
Menggunakan aturan perkalian:
$g''(x) = \frac{d}{dx}(-2 \sin x) \cos x + (-2 \sin x) \frac{d}{dx}(\cos x)$
$g''(x) = (-2 \cos x) \cos x + (-2 \sin x) (-\sin x)$
$g''(x) = -2 \cos^2 x + 2 \sin^2 x$

Sekarang hitung limit dari $\frac{f''(x)}{g''(x)}$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x + 4(x-\frac{\pi}{2}) \cos x - (x-\frac{\pi}{2})^2 \sin x}{-2 \cos^2 x + 2 \sin^2 x}$

Substitusikan $x = \frac{\pi}{2}$:
Pembilang: $2 \sin(\frac{\pi}{2}) + 4(0) \cos(\frac{\pi}{2}) - (0)^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2(1) + 0 - 0 = 2$
Penyebut: $-2 \cos^2(\frac{\pi}{2}) + 2 \sin^2(\frac{\pi}{2}) = -2(0)^2 + 2(1)^2 = 0 + 2 = 2$

Maka limitnya adalah $\frac{2}{2} = 1$.

Cara Alternatif menggunakan manipulasi aljabar:
Limit: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(x-\frac{\pi}{2})^2 \sin x}{\cos^2 x}$

Misalkan $y = x - \frac{\pi}{2}$. Maka $x = y + \frac{\pi}{2}$. Ketika $x \to \frac{\pi}{2}$, maka $y \to 0$.
Substitusikan $y$ ke dalam limit:
$\lim_{y \to 0} \frac{y^2 \sin(y + \frac{\pi}{2})}{\cos^2(y + \frac{\pi}{2})}$

Kita tahu bahwa $\sin(y + \frac{\pi}{2}) = \cos y$ dan $\cos(y + \frac{\pi}{2}) = -\sin y$.
Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{y \to 0} \frac{y^2 \cos y}{(-\sin y)^2}$
$\lim_{y \to 0} \frac{y^2 \cos y}{\sin^2 y}$

Kita bisa menulis ulang ini sebagai:
$\lim_{y \to 0} (\frac{y}{\sin y})^2 \times \lim_{y \to 0} \cos y \times \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y}$

Kita tahu bahwa $\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$, jadi $\lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} = 1$.
Dan $\lim_{y \to 0} \cos y = \cos 0 = 1$.

Jadi, limitnya adalah $(1)^2 \times 1 \times 1 = 1$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.