limit x->1 ((3 tan x sin x)/(1 - cos x))^(1/2) = ...

$\sqrt{\frac{3(1+\cos 1)}{\cos 1}}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 1} \left( \frac{3 \tan x \sin x}{1 - \cos x} \right)^{\frac{1}{2}}$, kita perlu mengevaluasi ekspresi di dalam tanda kurung terlebih dahulu saat x mendekati 1.

Kita tahu bahwa:
$	an x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Maka, ekspresi tersebut menjadi:
$rac{3 \tan x \sin x}{1 - \cos x} = \frac{3 \frac{\sin x}{\cos x} \sin x}{1 - \cos x} = \frac{3 \sin^2 x}{\cos x (1 - \cos x)}$

Kita juga tahu identitas trigonometri $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$.
Substitusikan identitas ini ke dalam ekspresi:
$rac{3 (1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos x (1 - \cos x)}$

Kita bisa menyederhanakan dengan membatalkan $(1 - \cos x)$, asalkan $\cos x \neq 1$, yang benar saat $x \to 1$ (karena $x=1$ radian, bukan kelipatan $2\pi$).
$rac{3 (1 + \cos x)}{\cos x}$

Sekarang, kita substitusikan $x = 1$ ke dalam ekspresi yang disederhanakan:
$\frac{3 (1 + \cos 1)}{\cos 1}$

Nilai $\cos 1$ (radian) adalah sekitar 0.5403.
$\frac{3 (1 + 0.5403)}{0.5403} = \frac{3 \times 1.5403}{0.5403} = \frac{4.6209}{0.5403} \approx 8.5524$

Jadi, limit dari ekspresi di dalam tanda kurung adalah $\frac{3 (1 + \cos 1)}{\cos 1}$.

Limit keseluruhan adalah $\left( \frac{3 (1 + \cos 1)}{\cos 1} \right)^{\frac{1}{2}}$.

Nilai eksaknya adalah $\sqrt{\frac{3 (1 + \cos 1)}{\cos 1}}$.