limit x->2 (sin (x-2))/(x^2-4) = .......

1/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar. 

Menggunakan Aturan L'Hopital (karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0):
Limit x→2 (sin (x-2))/(x^2-4)
Turunkan pembilang: d/dx (sin(x-2)) = cos(x-2)
Turunkan penyebut: d/dx (x^2-4) = 2x

Maka, limitnya menjadi:
Limit x→2 cos(x-2) / 2x
Substitusikan x = 2:
cos(2-2) / (2*2)
cos(0) / 4
1 / 4

Atau, menggunakan manipulasi aljabar:
Limit x→2 (sin (x-2))/(x^2-4)
Perhatikan penyebut dapat difaktorkan sebagai selisih kuadrat: x^2 - 4 = (x-2)(x+2)
Limit x→2 (sin (x-2))/((x-2)(x+2))
Pisahkan menjadi:
(Limit x→2 sin(x-2)/(x-2)) * (Limit x→2 1/(x+2))
Kita tahu bahwa Limit θ→0 sin(θ)/θ = 1. Dalam kasus ini, jika x→2, maka x-2→0. Jadi, Limit x→2 sin(x-2)/(x-2) = 1.

Kemudian hitung limit kedua:
Limit x→2 1/(x+2) = 1/(2+2) = 1/4.

Jadi, hasil limitnya adalah 1 * (1/4) = 1/4.