limit x mendekati pi/4 (1-sin 2x)/(cos^2 2x)

Nilai limitnya adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan \lim_{x \to \pi/4} \frac{1 - \sin 2x}{\cos^2 2x}, kita dapat melakukan substitusi nilai x = \pi/4 ke dalam fungsi:

Pembilang: 1 - \sin(2 \times \pi/4) = 1 - \sin(\pi/2) = 1 - 1 = 0

Penyebut: \cos^2(2 \times \pi/4) = \cos^2(\pi/2) = 0^2 = 0

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan identitas trigonometri atau L'Hopital's Rule.

Menggunakan identitas:
Kita tahu bahwa \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta. Jadi, \cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x = (1 - \sin 2x)(1 + \sin 2x).

Maka, limitnya menjadi:
\lim_{x \to \pi/4} \frac{1 - \sin 2x}{(1 - \sin 2x)(1 + \sin 2x)}

Kita bisa membatalkan (1 - \sin 2x) selama \sin 2x \neq 1 (yang benar saat x mendekati \pi/4):
\lim_{x \to \pi/4} \frac{1}{1 + \sin 2x}

Sekarang substitusi x = \pi/4:
\frac{1}{1 + \sin(2 \times \pi/4)} = \frac{1}{1 + \sin(\pi/2)} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.