limit x mendekati tak hingga (sin(3/x))/(tan(1/x))=...

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x mendekati tak hingga (sin(3/x))/(tan(1/x)), kita bisa menggunakan substitusi atau aturan L'Hopital. 

Cara 1: Substitusi
Misalkan y = 1/x. Ketika x mendekati tak hingga, y mendekati 0. 
Maka, limitnya menjadi:
lim (y->0) (sin(3y))/(tan(y))
Kita tahu bahwa sin(ay) mendekati ay dan tan(by) mendekati by ketika y mendekati 0. 
Jadi, limitnya menjadi:
lim (y->0) (3y)/(y) = 3.

Cara 2: Aturan L'Hopital
Karena ketika x mendekati tak hingga, 3/x mendekati 0 dan 1/x mendekati 0, sehingga sin(3/x) mendekati 0 dan tan(1/x) mendekati 0. Ini adalah bentuk tak tentu 0/0, sehingga kita bisa menggunakan aturan L'Hopital.
Turunan dari sin(3/x) terhadap x adalah cos(3/x) * (-3/x^2).
Turunan dari tan(1/x) terhadap x adalah sec^2(1/x) * (-1/x^2).

Maka, limitnya menjadi:
lim (x->inf) [cos(3/x) * (-3/x^2)] / [sec^2(1/x) * (-1/x^2)]
Kita bisa membatalkan -1/x^2 dari pembilang dan penyebut:
lim (x->inf) [cos(3/x) * 3] / [sec^2(1/x)]
Ketika x mendekati tak hingga, 3/x mendekati 0 dan 1/x mendekati 0. Maka cos(0) = 1 dan sec(0) = 1.
Jadi, limitnya adalah: (1 * 3) / (1^2) = 3.

Jadi, limit x mendekati tak hingga (sin(3/x))/(tan(1/x)) adalah 3.