limit x->pi/4 ((x-pi/4)tan(3x-3pi/4))/(2(1-sin 2x)= ....

Nilai limitnya adalah 3/4.

Pembahasan

Kita perlu mengevaluasi limit berikut: lim (x->pi/4) [(x-pi/4)tan(3x-3pi/4)] / [2(1-sin 2x)]

Ketika x mendekati pi/4, baik pembilang maupun penyebut mendekati 0, sehingga ini adalah bentuk tak tentu 0/0. Kita dapat menggunakan Aturan L'Hopital atau substitusi.

Metode 1: Aturan L'Hopital
Turunan dari pembilang: d/dx [(x-pi/4)tan(3x-3pi/4)]
Menggunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv':
u = x - pi/4 => u' = 1
v = tan(3x - 3pi/4) => v' = sec^2(3x - 3pi/4) * 3

Turunan pembilang = 1 * tan(3x - 3pi/4) + (x - pi/4) * 3 sec^2(3x - 3pi/4)
= tan(3x - 3pi/4) + 3(x - pi/4) sec^2(3x - 3pi/4)

Turunan dari penyebut: d/dx [2(1 - sin 2x)]
= 2 * [-cos(2x) * 2]
= -4 cos(2x)

Sekarang kita evaluasi limit dari hasil turunan:
lim (x->pi/4) [tan(3x - 3pi/4) + 3(x - pi/4) sec^2(3x - 3pi/4)] / [-4 cos(2x)]

Ganti x = pi/4:
Pembilang = tan(3(pi/4) - 3pi/4) + 3(pi/4 - pi/4) sec^2(3(pi/4) - 3pi/4)
= tan(0) + 3(0) sec^2(0)
= 0 + 0 * 1^2 = 0

Penyebut = -4 cos(2 * pi/4)
= -4 cos(pi/2)
= -4 * 0 = 0

Karena masih berbentuk 0/0, kita perlu menerapkan L'Hopital lagi atau menggunakan substitusi yang lebih cerdas.

Metode 2: Substitusi
Misalkan y = x - pi/4. Maka x = y + pi/4.
Ketika x -> pi/4, maka y -> 0.

Substitusikan ke dalam ekspresi limit:
lim (y->0) [y * tan(3(y + pi/4) - 3pi/4)] / [2(1 - sin(2(y + pi/4)))]
= lim (y->0) [y * tan(3y + 3pi/4 - 3pi/4)] / [2(1 - sin(2y + pi/2))]
= lim (y->0) [y * tan(3y)] / [2(1 - cos(2y))]  (karena sin(theta + pi/2) = cos(theta))

Kita tahu bahwa lim (y->0) tan(ay)/ay = 1 dan lim (y->0) (1 - cos(by))/ (by)^2 = 1/2.

Ubah ekspresi agar sesuai dengan limit standar:
= lim (y->0) [y * (sin(3y)/cos(3y))] / [2 * (1 - cos(2y))]
= lim (y->0) [y * sin(3y)] / [2 * cos(3y) * (1 - cos(2y))]

Kita bisa memanipulasi penyebut:
1 - cos(2y) = 2 sin^2(y)

Jadi ekspresi menjadi:
= lim (y->0) [y * sin(3y)] / [2 * cos(3y) * (2 sin^2(y))]
= lim (y->0) [y * sin(3y)] / [4 * cos(3y) * sin^2(y)]

Sekarang kita bagi pembilang dan penyebut dengan y^2 untuk mendapatkan bentuk standar:
= lim (y->0) [(y/y) * (sin(3y)/y)] / [4 * cos(3y) * (sin^2(y)/y^2)]
= lim (y->0) [1 * (sin(3y)/y)] / [4 * cos(3y) * (sin(y)/y)^2]

Gunakan lim (y->0) sin(ay)/y = a dan lim (y->0) sin(y)/y = 1:
= [1 * 3] / [4 * cos(0) * (1)^2]
= 3 / [4 * 1 * 1]
= 3/4

Jadi, nilai limitnya adalah 3/4.