Kelas 12mathKalkulus
limit x->pi (akar(10-cos2x)-3)/((pi-x)^2)=...
Pertanyaan
limit x->pi (akar(10-cos2x)-3)/((pi-x)^2)=...
Solusi
Verified
1/3
Pembahasan
Untuk menyelesaikan limit x→π [√(10 - cos(2x)) - 3] / [(π - x)²], kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = π, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0. Turunan dari pembilang (dengan menghitung turunan terhadap x): d/dx [√(10 - cos(2x)) - 3] = d/dx [(10 - cos(2x))^(1/2)] = (1/2) * (10 - cos(2x))^(-1/2) * d/dx [10 - cos(2x)] = (1/2) * (10 - cos(2x))^(-1/2) * [-(-sin(2x) * 2)] = (1/2) * (10 - cos(2x))^(-1/2) * [2sin(2x)] = sin(2x) / √(10 - cos(2x)) Turunan dari penyebut: d/dx [(π - x)²] = 2(π - x) * d/dx [π - x] = 2(π - x) * (-1) = -2(π - x) Sekarang, terapkan aturan L'Hopital dengan membagi turunan pembilang dengan turunan penyebut: lim x→π [sin(2x) / √(10 - cos(2x))] / [-2(π - x)] = lim x→π sin(2x) / [-2(π - x)√(10 - cos(2x))] Jika kita substitusikan x = π lagi, kita masih mendapatkan bentuk tak tentu 0/0. Jadi, kita terapkan aturan L'Hopital sekali lagi. Turunan dari pembilang baru: d/dx [sin(2x) / √(10 - cos(2x))] Gunakan aturan hasil bagi (u/v)' = (u'v - uv') / v² Misalkan u = sin(2x), maka u' = 2cos(2x) Misalkan v = √(10 - cos(2x)) = (10 - cos(2x))^(1/2), maka v' = sin(2x) / √(10 - cos(2x)) Jadi, turunan pembilang baru adalah: [(2cos(2x)√(10 - cos(2x))) - (sin(2x) * (sin(2x) / √(10 - cos(2x))))] / (10 - cos(2x)) = [2cos(2x)(10 - cos(2x)) - sin²(2x)] / [(10 - cos(2x))^(3/2)] Turunan dari penyebut baru: d/dx [-2(π - x)] = -2 * (-1) = 2 Sekarang, terapkan aturan L'Hopital lagi: lim x→π [ [2cos(2x)(10 - cos(2x)) - sin²(2x)] / [(10 - cos(2x))^(3/2)] ] / 2 = lim x→π [2cos(2x)(10 - cos(2x)) - sin²(2x)] / [2(10 - cos(2x))^(3/2)] Sekarang substitusikan x = π: cos(2π) = 1 sin(2π) = 0 = [2(1)(10 - 1) - 0²] / [2(10 - 1)^(3/2)] = [2(9) - 0] / [2(9)^(3/2)] = 18 / [2 * (√9)³] = 18 / [2 * 3³] = 18 / [2 * 27] = 18 / 54 = 1/3 Jadi, limit x→π [√(10 - cos(2x)) - 3] / [(π - x)²] adalah 1/3.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi
Section: Aturan L Hopital
Apakah jawaban ini membantu?