limit x->pi (akar(10-cos2x)-3)/((pi-x)^2)=...

1/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x→π [√(10 - cos(2x)) - 3] / [(π - x)²], kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = π, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Turunan dari pembilang (dengan menghitung turunan terhadap x):
d/dx [√(10 - cos(2x)) - 3] = d/dx [(10 - cos(2x))^(1/2)]
= (1/2) * (10 - cos(2x))^(-1/2) * d/dx [10 - cos(2x)]
= (1/2) * (10 - cos(2x))^(-1/2) * [-(-sin(2x) * 2)]
= (1/2) * (10 - cos(2x))^(-1/2) * [2sin(2x)]
= sin(2x) / √(10 - cos(2x))

Turunan dari penyebut:
d/dx [(π - x)²] = 2(π - x) * d/dx [π - x]
= 2(π - x) * (-1)
= -2(π - x)

Sekarang, terapkan aturan L'Hopital dengan membagi turunan pembilang dengan turunan penyebut:
lim x→π [sin(2x) / √(10 - cos(2x))] / [-2(π - x)]
= lim x→π sin(2x) / [-2(π - x)√(10 - cos(2x))]

Jika kita substitusikan x = π lagi, kita masih mendapatkan bentuk tak tentu 0/0. Jadi, kita terapkan aturan L'Hopital sekali lagi.

Turunan dari pembilang baru:
d/dx [sin(2x) / √(10 - cos(2x))]
Gunakan aturan hasil bagi (u/v)' = (u'v - uv') / v²
Misalkan u = sin(2x), maka u' = 2cos(2x)
Misalkan v = √(10 - cos(2x)) = (10 - cos(2x))^(1/2), maka v' = sin(2x) / √(10 - cos(2x))

Jadi, turunan pembilang baru adalah:
[(2cos(2x)√(10 - cos(2x))) - (sin(2x) * (sin(2x) / √(10 - cos(2x))))] / (10 - cos(2x))
= [2cos(2x)(10 - cos(2x)) - sin²(2x)] / [(10 - cos(2x))^(3/2)]

Turunan dari penyebut baru:
d/dx [-2(π - x)] = -2 * (-1) = 2

Sekarang, terapkan aturan L'Hopital lagi:
lim x→π [ [2cos(2x)(10 - cos(2x)) - sin²(2x)] / [(10 - cos(2x))^(3/2)] ] / 2
= lim x→π [2cos(2x)(10 - cos(2x)) - sin²(2x)] / [2(10 - cos(2x))^(3/2)]

Sekarang substitusikan x = π:
cos(2π) = 1
sin(2π) = 0

= [2(1)(10 - 1) - 0²] / [2(10 - 1)^(3/2)]
= [2(9) - 0] / [2(9)^(3/2)]
= 18 / [2 * (√9)³]
= 18 / [2 * 3³]
= 18 / [2 * 27]
= 18 / 54
= 1/3

Jadi, limit x→π [√(10 - cos(2x)) - 3] / [(π - x)²] adalah 1/3.