limx->0 ((x^2sin x-(1/2)sin X akar(x))/x^(3/2)=

-∞

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya tak tentu 0/0.
lim x→0 ((x^2 sin x - (1/2) sin x √x) / x^(3/2))

Kita turunkan pembilang dan penyebutnya:
Turunan pembilang: d/dx (x^2 sin x - (1/2) sin x √x)
= (2x sin x + x^2 cos x) - ((1/2) cos x √x + (1/2) sin x * (1/2√x))
= 2x sin x + x^2 cos x - (1/2) cos x √x - (1/4) sin x / √x

Turunan penyebut: d/dx (x^(3/2))
= (3/2) x^(1/2)

Sekarang kita substitusikan x=0 ke dalam turunan pembilang:
2(0)sin(0) + 0^2 cos(0) - (1/2)cos(0)√0 - (1/4)sin(0)/√0
= 0 + 0 - 0 - 0 = 0

Substitusikan x=0 ke dalam turunan penyebut:
(3/2) * 0^(1/2) = 0

Karena masih berbentuk 0/0, kita perlu menurunkan sekali lagi. Namun, perlu diperhatikan bahwa suku -(1/2) sin x √x memiliki bentuk yang rumit ketika diturunkan dan dibagi dengan x^(3/2). Mari kita coba faktorkan sin x terlebih dahulu dari pembilang:
lim x→0 (sin x (x^2 - 1/2 √x) / x^(3/2))
= lim x→0 (sin x / x) * lim x→0 ((x^2 - 1/2 √x) / x^(3/2))

Kita tahu bahwa lim x→0 (sin x / x) = 1.
Sekarang kita evaluasi limit kedua:
lim x→0 ((x^2 - 1/2 √x) / x^(3/2))
= lim x→0 (x^2 / x^(3/2) - (1/2) √x / x^(3/2))
= lim x→0 (x^(1/2) - (1/2) x^(-1))
= lim x→0 (√x - 1 / (2√x))

Ketika x mendekati 0, √x mendekati 0, dan 1/(2√x) mendekati tak hingga. Maka, hasil limitnya adalah -∞.

Jadi, hasil dari limx->0 ((x^2sin x-(1/2)sin X akar(x))/x^(3/2)) adalah -∞.