Lingkaran x^2+y^2-2x-py+p-3=0 melalui titik (3,2). Tentukan

Jari-jari lingkaran tersebut adalah 2.

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah x²+y²+2x-py+p-3=0. Lingkaran ini melalui titik (3,2).

Substitusikan titik (3,2) ke dalam persamaan lingkaran:
(3)² + (2)² + 2(3) - p(2) + p - 3 = 0
9 + 4 + 6 - 2p + p - 3 = 0
13 + 6 - 3 - p = 0
19 - 3 - p = 0
16 - p = 0
p = 16

Sekarang substitusikan nilai p = 16 kembali ke persamaan lingkaran:
x² + y² + 2x - 16y + 16 - 3 = 0
x² + y² + 2x - 16y + 13 = 0

Untuk mencari jari-jari lingkaran, kita ubah persamaan tersebut ke bentuk standar (x-a)² + (y-b)² = r².
Kelompokkan suku x dan y:
(x² + 2x) + (y² - 16y) = -13

Lengkapi kuadrat untuk suku x:
(x² + 2x + 1) = -13 + 1
(x + 1)² = -12

Lengkapi kuadrat untuk suku y:
(y² - 16y + 64) = -12 + 64
(y - 8)² = 52

Oops, ada kesalahan dalam soal atau pemahaman saya mengenai persamaan awal. Persamaan umum lingkaran adalah x²+y²+Ax+By+C=0. Persamaan yang diberikan adalah x²+y²+2x-py+p-3=0. Seharusnya suku x adalah '+2x'.

Mari kita asumsikan persamaan lingkaran adalah x²+y²-2x-py+p-3=0 seperti yang tertulis pada soal.
Substitusikan titik (3,2) ke dalam persamaan:
(3)² + (2)² - 2(3) - p(2) + p - 3 = 0
9 + 4 - 6 - 2p + p - 3 = 0
13 - 6 - 3 - p = 0
7 - 3 - p = 0
4 - p = 0
p = 4

Sekarang substitusikan nilai p = 4 ke dalam persamaan lingkaran:
x² + y² - 2x - 4y + 4 - 3 = 0
x² + y² - 2x - 4y + 1 = 0

Ubah ke bentuk standar (x-a)² + (y-b)² = r²:
(x² - 2x) + (y² - 4y) = -1
Lengkapi kuadrat untuk x:
(x² - 2x + 1) = -1 + 1
(x - 1)² = 0

Lengkapi kuadrat untuk y:
(y² - 4y + 4) = 0 + 4
(y - 2)² = 4

Jadi, persamaan lingkaran dalam bentuk standar adalah (x - 1)² + (y - 2)² = 4.

Dari bentuk ini, kita dapat melihat bahwa jari-jari lingkaran (r) adalah akar kuadrat dari 4.
r² = 4
r = 2

Jadi, jari-jari lingkaran tersebut adalah 2.