Lingkaran yang menyinggung garis x+y=3 di titik (1,2) dan

5√2 / 3

Pembahasan

Untuk menentukan jari-jari lingkaran yang menyinggung garis x+y=3 di titik (1,2) dan melalui titik (3,6), kita perlu menggunakan beberapa konsep geometri analitik.

Misalkan persamaan lingkaran adalah (x-a)² + (y-b)² = r², di mana (a,b) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jarinya.

Karena lingkaran menyinggung garis x+y=3 di titik (1,2), maka:
1. Titik (1,2) terletak pada lingkaran: (1-a)² + (2-b)² = r² (Persamaan 1)
2. Jari-jari lingkaran tegak lurus terhadap garis singgung di titik singgungnya. Gradien garis x+y=3 (atau y = -x + 3) adalah m_garis = -1.
   Gradien jari-jari yang menghubungkan pusat (a,b) ke titik singgung (1,2) adalah m_jari = (2-b)/(1-a).
   Karena tegak lurus, maka m_jari * m_garis = -1.
   ((2-b)/(1-a)) * (-1) = -1
   (2-b)/(1-a) = 1
   2-b = 1-a
   a - b = 1 - 2
   a - b = -1  =>  b = a + 1 (Persamaan 2)

Karena lingkaran juga melalui titik (3,6), maka:
3. Titik (3,6) terletak pada lingkaran: (3-a)² + (6-b)² = r² (Persamaan 3)

Sekarang kita punya sistem persamaan:
Dari Persamaan 1 dan 3, karena keduanya sama dengan r², maka:
(1-a)² + (2-b)² = (3-a)² + (6-b)²
1 - 2a + a² + 4 - 4b + b² = 9 - 6a + a² + 36 - 12b + b²

Kita bisa menghilangkan a² dan b² dari kedua sisi:
1 - 2a + 4 - 4b = 9 - 6a + 36 - 12b
5 - 2a - 4b = 45 - 6a - 12b

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
-2a + 6a - 4b + 12b + 5 - 45 = 0
4a + 8b - 40 = 0
Bagi dengan 4:
a + 2b - 10 = 0 (Persamaan 4)

Sekarang substitusikan Persamaan 2 (b = a + 1) ke dalam Persamaan 4:
a + 2(a + 1) - 10 = 0
a + 2a + 2 - 10 = 0
3a - 8 = 0
3a = 8
a = 8/3

Sekarang cari nilai b menggunakan Persamaan 2:
b = a + 1 = 8/3 + 1 = 8/3 + 3/3 = 11/3

Jadi, pusat lingkaran adalah (a,b) = (8/3, 11/3).

Terakhir, kita hitung jari-jari (r) menggunakan Persamaan 1 (atau Persamaan 3):
r² = (1-a)² + (2-b)²
r² = (1 - 8/3)² + (2 - 11/3)²
r² = (3/3 - 8/3)² + (6/3 - 11/3)²
r² = (-5/3)² + (-5/3)²
r² = 25/9 + 25/9
r² = 50/9

r = sqrt(50/9)
r = sqrt(50) / sqrt(9)
r = sqrt(25 * 2) / 3
r = 5 * sqrt(2) / 3

Jadi, jari-jari lingkaran tersebut adalah 5√2 / 3.