Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x+y<=3,

1.5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari luas daerah yang memenuhi ketiga pertidaksamaan tersebut. Pertama, kita akan mencari titik potong dari setiap pertidaksamaan:

1. x + y <= 3
   Titik potong sumbu-x (y=0): x = 3
   Titik potong sumbu-y (x=0): y = 3
   Garis: x + y = 3

2. 3x + 2y >= 6
   Titik potong sumbu-x (y=0): 3x = 6 => x = 2
   Titik potong sumbu-y (x=0): 2y = 6 => y = 3
   Garis: 3x + 2y = 6

3. y >= 0
   Ini berarti daerah berada di atas sumbu-x.

Selanjutnya, kita akan mencari titik potong antara garis-garis tersebut:

Titik potong antara x + y = 3 dan 3x + 2y = 6:
Dari x + y = 3, kita dapatkan y = 3 - x.
Substitusikan ke persamaan kedua:
3x + 2(3 - x) = 6
3x + 6 - 2x = 6
x = 0
Jika x = 0, maka y = 3 - 0 = 3.
Jadi, titik potongnya adalah (0, 3).

Titik potong antara x + y = 3 dan y = 0:
x + 0 = 3 => x = 3. Titiknya adalah (3, 0).

Titik potong antara 3x + 2y = 6 dan y = 0:
3x + 2(0) = 6 => 3x = 6 => x = 2. Titiknya adalah (2, 0).

Daerah penyelesaiannya dibatasi oleh titik-titik (0, 3), (3, 0), dan (2, 0). Daerah ini membentuk sebuah segitiga.

Luas segitiga dapat dihitung dengan rumus: 1/2 * alas * tinggi.
Alas segitiga berada di sumbu-x, dari x=2 hingga x=3. Panjang alas = 3 - 2 = 1.
Tinggi segitiga adalah jarak dari titik (0, 3) ke sumbu-x, yaitu 3.

Namun, cara menghitung alas dan tinggi di atas kurang tepat karena daerahnya bukan segitiga siku-siku dengan alas di sumbu x. Lebih tepatnya, kita perlu mengidentifikasi bentuk daerah yang dibatasi oleh ketiga pertidaksamaan tersebut.

Mari kita tinjau kembali titik-titik sudut yang memenuhi:
- Titik potong x+y=3 dan y=0 adalah (3,0).
- Titik potong 3x+2y=6 dan y=0 adalah (2,0).
- Titik potong x+y=3 dan 3x+2y=6 adalah (0,3).

Daerah yang memenuhi x+y<=3 berada di bawah garis x+y=3.
Daerah yang memenuhi 3x+2y>=6 berada di atas garis 3x+2y=6.
Daerah yang memenuhi y>=0 berada di atas sumbu x.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah segitiga dengan titik sudut (0,3), (2,0), dan (3,0).

Luas segitiga ini dapat dihitung dengan memandang alasnya pada sumbu x dari x=2 sampai x=3. Namun, ini tidak benar. 

Cara lain adalah dengan menggunakan integral, atau dengan membagi daerah tersebut.

Mari kita cari luas daerah di bawah garis x+y=3 dari x=0 sampai x=3 dikurangi luas daerah di bawah garis 3x+2y=6 dari x=2 sampai x=0. Ini juga rumit.

Mari kita gunakan pendekatan geometri yang lebih sederhana. Daerah penyelesaiannya adalah segitiga dengan titik sudut (0,3), (2,0), dan (3,0). 

Kita bisa menghitung luas segitiga ini dengan meninjau alas pada sumbu y. Puncak segitiga adalah (0,3). Dua titik lainnya adalah (2,0) dan (3,0) di sumbu x. 

Luas segitiga = 1/2 |(x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2))|
= 1/2 |(0(0-0) + 2(0-3) + 3(3-0))|
= 1/2 |(0 + 2(-3) + 3(3))|
= 1/2 |(-6 + 9)|
= 1/2 |3|
= 3/2 = 1.5 satuan luas.

Alternatif lain: Bentuk daerahnya adalah segitiga dengan alas di sumbu x, yang memanjang dari x=2 sampai x=3. Namun, tinggi untuk setiap titik pada alas ini berbeda.

Mari kita lihat lagi titik-titik sudut: (0,3), (2,0), (3,0). Ini adalah segitiga. Alasnya bisa dianggap sebagai segmen pada sumbu x dari (2,0) ke (3,0), dengan panjang 1. Namun, tinggi dari titik (0,3) ke sumbu x adalah 3, dan ini adalah tinggi dari titik sudut (0,3).

Kita bisa memandang segitiga ini memiliki alas pada sumbu y dari y=0 sampai y=3, dengan panjang 3. Namun, titik sudutnya adalah (0,3), (2,0), dan (3,0).

Perhatikan bahwa titik (0,3) berada di sumbu y. Titik (2,0) dan (3,0) berada di sumbu x. Segitiga ini memiliki alas di sumbu x antara x=2 dan x=3. Titik (0,3) adalah titik tertinggi.

Jika kita memproyeksikan titik (0,3) ke sumbu x, kita dapat membagi segitiga menjadi dua bagian.

Cara termudah adalah melihatnya sebagai sebuah segitiga dengan alas yang dibentuk oleh dua titik di sumbu x yaitu (2,0) dan (3,0). Panjang alas = 3 - 2 = 1. Namun, tinggi dari titik (0,3) ke garis yang melalui (2,0) dan (3,0) (yaitu sumbu x) adalah 3.

Luas segitiga = 1/2 * alas * tinggi
Luas = 1/2 * (jarak antara (2,0) dan (3,0)) * (jarak vertikal dari (0,3) ke sumbu x)
Luas = 1/2 * (3 - 2) * 3 = 1/2 * 1 * 3 = 1.5

Soal #1: Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x+y<=3, 3x+2y>=6, y>=0 adalah 1.5 satuan luas.