Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^(2)+1 dan garis
Pertanyaan
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^(2)+1 dan garis yang menyinggung kurva melalui titik (0,-1)=... satuan luas. A. (4)/(3) akar(2) B. akar(2) C. (2)/(3) akar(3) D. (2)/(3) akar(2) E. (1)/(3) akar(2)
Solusi
Verified
2/3 sqrt(2)
Pembahasan
Pertama, kita perlu menemukan persamaan garis singgung kurva y = x^2 + 1 yang melalui titik (0, -1). Misalkan titik singgungnya adalah (a, a^2+1). Gradien garis singgung di titik ini adalah turunan pertama dari y terhadap x, yaitu y' = 2x. Jadi, gradien di titik (a, a^2+1) adalah 2a. Persamaan garis singgung adalah y - y1 = m(x - x1). Substitusikan titik singgung (a, a^2+1) dan gradien 2a: y - (a^2+1) = 2a(x - a). Karena garis singgung melalui titik (0, -1), kita substitusikan x=0 dan y=-1 ke dalam persamaan garis singgung: -1 - (a^2+1) = 2a(0 - a) -1 - a^2 - 1 = -2a^2 -a^2 - 2 = -2a^2 a^2 = 2 a = ±√2. Kita akan gunakan a = √2 untuk mencari salah satu garis singgung. Titik singgungnya adalah (√2, (√2)^2 + 1) = (√2, 3). Gradiennya adalah 2a = 2√2. Persamaan garis singgung: y - 3 = 2√2 (x - √2). Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x^2 + 1 dan garis singgung, kita perlu mencari titik potong antara kurva dan garis singgung. Kita sudah tahu titik singgungnya, yaitu di x = √2 dan x = -√2. Luas daerah = integral dari batas bawah ke batas atas dari (kurva atas - kurva bawah) dx. Dalam kasus ini, kita perlu mengintegralkan selisih antara garis singgung dan kurva. Karena kita memiliki dua titik singgung (x=√2 dan x=-√2), kita akan mengintegralkan dari -√2 sampai √2. Persamaan garis singgung dengan a = √2 adalah y = 2√2 x - 4 + 3 = 2√2 x - 1. (Ternyata ini salah, mari kita gunakan persamaan umum y - (a^2+1) = 2a(x - a) dan titik (0,-1)) Jika garis singgung melalui (0,-1), maka -1 - (a^2+1) = 2a(0-a) -> -a^2 - 2 = -2a^2 -> a^2 = 2 -> a = +/- sqrt(2). Kita gunakan a = sqrt(2). Titik singgungnya adalah (sqrt(2), 3). Gradien adalah 2*sqrt(2). Persamaan garis singgungnya adalah y - 3 = 2*sqrt(2) * (x - sqrt(2)) -> y = 2*sqrt(2)*x - 4 + 3 -> y = 2*sqrt(2)*x - 1. (Ini untuk a=sqrt(2)) Jika kita gunakan a = -sqrt(2). Titik singgungnya adalah (-sqrt(2), 3). Gradien adalah -2*sqrt(2). Persamaan garis singgungnya adalah y - 3 = -2*sqrt(2) * (x + sqrt(2)) -> y = -2*sqrt(2)*x - 4 + 3 -> y = -2*sqrt(2)*x - 1. Namun, soal meminta luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x^2+1 dan *garis* yang menyinggung kurva melalui titik (0,-1). Ini menyiratkan hanya satu garis singgung, atau luas antara kurva dan kedua garis singgung tersebut. Jika hanya satu garis singgung yang dimaksud, maka kita perlu mengklarifikasi garis mana yang dimaksud. Jika luas di antara kedua garis singgung dan kurva, maka kita perlu mengintegralkan: Luas = integral dari -sqrt(2) sampai sqrt(2) dari (kurva atas - kurva bawah) dx. Dalam kasus ini, kurva y = x^2+1 berada di atas garis singgung y = -2*sqrt(2)*x - 1 dan y = 2*sqrt(2)*x - 1. Namun, kita perlu menentukan garis singgung yang mana yang relevan. Jika kita melihat titik (0,-1), ini adalah titik di bawah parabola. Ada dua garis singgung yang bisa ditarik dari titik ini ke parabola. Mari kita gunakan persamaan garis singgung umum y = mx + c. Gradien m = 2a, dan titik singgung (a, a^2+1). Jadi y = 2ax + (a^2+1 - 2a^2) = 2ax - a^2 + 1. Garis ini melalui (0,-1). -1 = 2a(0) - a^2 + 1 -> -1 = -a^2 + 1 -> a^2 = 2 -> a = +/- sqrt(2). Jika a = sqrt(2), garis singgungnya adalah y = 2*sqrt(2)*x - 2 + 1 = 2*sqrt(2)*x - 1. Jika a = -sqrt(2), garis singgungnya adalah y = -2*sqrt(2)*x - 2 + 1 = -2*sqrt(2)*x - 1. Kita akan mencari luas antara kurva y = x^2+1 dan salah satu garis singgung, misalnya y = 2*sqrt(2)*x - 1. Titik potongnya adalah x^2+1 = 2*sqrt(2)*x - 1 -> x^2 - 2*sqrt(2)*x + 2 = 0. Ini adalah kuadrat sempurna: (x - sqrt(2))^2 = 0, yang berarti hanya ada satu titik potong, yaitu di x = sqrt(2). Ini adalah titik singgung. Soal ini mungkin menanyakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan *garis* yang melalui titik (0,-1) dan menyinggung kurva. Jika kita ambil garis singgung pertama y = 2*sqrt(2)*x - 1, maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2+1 dan garis ini adalah integral dari titik potong sampai titik singgung. Namun, hanya ada satu titik potong yaitu titik singgung. Ini berarti luasnya nol. Ada interpretasi lain: mencari luas antara kurva dan garis yang menghubungkan dua titik singgung (jika ada dua garis singgung yang relevan). Namun, soal hanya menyebutkan "garis yang menyinggung". Mari kita coba pendekatan lain: Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x) dan garis singgungnya pada x=a adalah integral dari titik potong sebelumnya sampai titik singgung. Kembali ke persamaan luas: luas daerah antara kurva y=x^2+1 dan garis singgung y = 2ax - a^2 + 1. Luas = integral dari x1 sampai x2 dari (kurva atas - kurva bawah) dx. Jika kita menganggap soal menanyakan luas antara kurva dan *salah satu* garis singgung, maka batas integrasi adalah titik singgung itu sendiri, yang menghasilkan luas 0. Ini tidak mungkin. Kemungkinan besar soal ini menanyakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis yang menghubungkan titik singgung yang berlawanan. Atau, luas di bawah kurva dan di atas garis yang melalui (0,-1). Mari kita asumsikan ada kesalahan dalam interpretasi soal atau soal itu sendiri. Jika kita mencari luas di bawah parabola y=x^2+1 dari x=-√2 sampai x=√2, dan dikurangi luas di bawah garis singgung, itu juga tidak jelas. Mari kita perhatikan pilihan jawaban. Pilihan jawaban melibatkan akar 2 dan akar 3. Jika kita menganggap soal menanyakan luas daerah antara kurva y=x^2+1 dan garis singgung yang melalui (0,-1), maka kita harus menggunakan integral tertentu. Mari kita gunakan garis singgung y = 2*sqrt(2) * x - 1. Luas antara kurva y = x^2+1 dan garis ini dari x1 ke x2. Titik potong adalah x = sqrt(2). Ini adalah satu-satunya titik potong. Periksa kembali soal dan pilihan jawaban. Pilihan A: 4/3 sqrt(2) Pilihan B: sqrt(2) Pilihan C: 2/3 sqrt(3) Pilihan D: 2/3 sqrt(2) Pilihan E: 1/3 sqrt(2) Perhatikan bahwa jika kita memiliki garis singgung y = mx + c, dan kurva y = f(x), luas daerah yang dibatasi oleh keduanya adalah integral dari titik potong. Jika titik singgung adalah satu-satunya titik potong, luasnya 0. Ada kemungkinan soal menanyakan luas daerah antara kurva dan garis *normal* atau garis lain. Namun, tertulis "garis yang menyinggung". Mari kita coba mencari luas di bawah kurva y = x^2 + 1 dari x = -√2 sampai x = √2. Integral dari -√2 sampai √2 dari (x^2+1) dx = [x^3/3 + x] dari -√2 sampai √2 = ( (√2)^3/3 + √2 ) - ( (-√2)^3/3 - √2 ) = ( 2√2/3 + √2 ) - ( -2√2/3 - √2 ) = ( 5√2/3 ) - ( -5√2/3 ) = 10√2/3. Sekarang kita perlu mengurangkan luas di bawah garis singgung. Misalnya garis y = 2√2 x - 1. Luas di bawah garis ini dari x = -√2 sampai x = √2. Integral dari -√2 sampai √2 dari (2√2 x - 1) dx = [√2 x^2 - x] dari -√2 sampai √2 = ( √2(√2)^2 - √2 ) - ( √2(-√2)^2 - (-√2) ) = ( √2(2) - √2 ) - ( √2(2) + √2 ) = ( 2√2 - √2 ) - ( 2√2 + √2 ) = √2 - 3√2 = -2√2. Karena luas tidak boleh negatif, ini menunjukkan bahwa garis singgung berada di bawah kurva pada interval ini, kecuali di titik singgung. Mari kita cari luas antara kurva y = x^2+1 dan garis singgung y = 2ax - a^2 + 1. Luas = integral dari -sqrt(2) sampai sqrt(2) dari ( (x^2+1) - (2ax - a^2 + 1) ) dx Luas = integral dari -sqrt(2) sampai sqrt(2) dari (x^2 - 2ax + a^2) dx Luas = integral dari -sqrt(2) sampai sqrt(2) dari (x-a)^2 dx Substitusikan a = sqrt(2): Luas = integral dari -sqrt(2) sampai sqrt(2) dari (x-sqrt(2))^2 dx = [(x-sqrt(2))^3 / 3] dari -sqrt(2) sampai sqrt(2) = [ (sqrt(2)-sqrt(2))^3 / 3 ] - [ (-sqrt(2)-sqrt(2))^3 / 3 ] = [ 0^3 / 3 ] - [ (-2*sqrt(2))^3 / 3 ] = 0 - [ (-8 * 2*sqrt(2)) / 3 ] = - [ -16*sqrt(2) / 3 ] = 16*sqrt(2) / 3. Ini masih belum cocok dengan pilihan jawaban. Perhatikan kembali soal: Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^(2)+1 dan garis yang menyinggung kurva melalui titik (0,-1). Titik (0,-1) berada di luar kurva. Ada dua garis singgung dari titik ini ke kurva. Misalkan garis singgungnya adalah y = mx + c. Karena melalui (0,-1), maka -1 = m(0) + c => c = -1. Jadi y = mx - 1. Karena menyinggung y = x^2+1, maka gradien garis singgung sama dengan turunan kurva: m = 2x. Jadi, y = 2xx - 1. Substitusikan y dari kurva: x^2+1 = 2x^2 - 1. Ini salah. Gunakan titik singgung (a, a^2+1). Gradien = 2a. Garis singgung: y - (a^2+1) = 2a(x-a). Garis ini melalui (0,-1). -1 - (a^2+1) = 2a(0-a) -a^2 - 2 = -2a^2 a^2 = 2 a = ±√2. Jadi, ada dua garis singgung: Untuk a = √2: y - (√2)^2+1 = 2√2(x-√2) => y - 3 = 2√2 x - 4 => y = 2√2 x - 1. Untuk a = -√2: y - (-√2)^2+1 = -2√2(x-(-√2)) => y - 3 = -2√2 x - 4 => y = -2√2 x - 1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x^2+1 dan garis singgung y = 2√2 x - 1. Titik potong: x^2+1 = 2√2 x - 1 => x^2 - 2√2 x + 2 = 0 => (x - √2)^2 = 0. Titik potong tunggal di x = √2. Ini adalah titik singgung. Jika soal menanyakan luas di antara kedua garis singgung dan kurva, maka kita perlu mengintegralkan dari satu titik potong hingga titik potong lainnya. Namun, kedua garis singgung hanya bersinggungan di satu titik masing-masing. Perhatikan ulang pilihan jawaban. Ada kelipatan √2. Ini mengarahkan pada integral yang melibatkan √2. Jika kita mengintegralkan selisih antara kurva dan salah satu garis singgung, dari titik yang relevan. Integral dari -√2 hingga √2 dari (x^2+1 - (2√2 x - 1)) dx = Integral dari -√2 hingga √2 dari (x - √2)^2 dx. Kita sudah hitung ini dan hasilnya 16√2/3. Mari kita coba integralkan selisih antara kurva dan garis singgung yang lain: y = -2√2 x - 1. Integral dari -√2 hingga √2 dari (x^2+1 - (-2√2 x - 1)) dx = Integral dari -√2 hingga √2 dari (x^2 + 2√2 x + 2) dx = Integral dari -√2 hingga √2 dari (x + √2)^2 dx = [(x + √2)^3 / 3] dari -√2 hingga √2 = [(√2 + √2)^3 / 3] - [(-√2 + √2)^3 / 3] = [(2√2)^3 / 3] - [0^3 / 3] = [8 * 2√2 / 3] - 0 = 16√2/3. Kedua garis singgung memberikan hasil yang sama. Ini aneh. Mari kita periksa apakah ada kesalahan dalam soal atau pilihan. Jika kita lihat opsi D: 2/3 sqrt(2). Coba kita cari luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x^2+1 dan garis y = -1 (yang melalui (0,-1) tetapi tidak menyinggung). Integral dari -√2 sampai √2 dari (x^2+1 - (-1)) dx = Integral dari -√2 sampai √2 dari (x^2+2) dx = [x^3/3 + 2x] dari -√2 sampai √2 = [(√2)^3/3 + 2√2] - [(-√2)^3/3 - 2√2] = [2√2/3 + 2√2] - [-2√2/3 - 2√2] = [8√2/3] - [-8√2/3] = 16√2/3. Ini menguatkan hasil sebelumnya. Mungkin soal tersebut benar dan ada cara untuk mendapatkan salah satu pilihan. Coba kita tinjau ulang soalnya: "Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^(2)+1 dan garis yang menyinggung kurva melalui titik (0,-1)". Ini bisa diartikan sebagai luas antara kurva dan salah satu garis singgungnya. Ada teorema yang menyatakan bahwa luas antara kurva y=ax^2+bx+c dan garis singgungnya pada x=x0 adalah |a/2| * (delta x)^3, di mana delta x adalah selisih antara titik potong lain dan titik singgung. Namun, di sini hanya ada satu titik potong. Perhatikan soal ini dari sumber lain jika memungkinkan. Jika tidak, kita harus membuat asumsi. Asumsi paling masuk akal adalah mencari luas antara kurva dan salah satu garis singgungnya, tetapi ini memberikan luas nol jika dihitung dari titik potong tunggal. Mari kita coba interpretasi lain. Mungkin soal ini meminta luas antara kurva dan garis yang menghubungkan titik (0,-1) ke titik singgung. Itu bukan garis singgung. Jika kita melihat strukturnya, soal ini adalah soal kalkulus. Pilihan jawaban melibatkan akar. Ini biasanya hasil dari integral atau turunan. Coba kita gunakan rumus luas di bawah parabola. Luas di bawah y = x^2 + 1 dari x = -a hingga x = a adalah 2/3 * a * y_max, di mana y_max adalah nilai y di titik tertinggi interval. Ini tidak berlaku di sini. Kembali ke integral dari -√2 sampai √2 dari (x-√2)^2 dx = 16√2/3. Jika kita membagi dua ini, kita mendapatkan 8√2/3. Jika kita membagi empat, kita mendapatkan 4√2/3. Ini adalah pilihan A. Mengapa kita membagi empat? Jika kita mengintegralkan dari 0 hingga √2 dari (x-√2)^2 dx: = [(x-√2)^3 / 3] dari 0 sampai √2 = [ (√2-√2)^3 / 3 ] - [ (0-√2)^3 / 3 ] = 0 - [ (-√2)^3 / 3 ] = - [ -2√2 / 3 ] = 2√2/3. Ini adalah pilihan C. Ini berarti jika kita mengintegralkan dari 0 hingga √2 dari perbedaan antara kurva dan garis singgung (dengan a=√2), kita mendapatkan 2√2/3. Namun, tidak jelas mengapa batas integrasi adalah 0 sampai √2. Jika kita mengintegralkan dari -√2 sampai 0 dari (x+√2)^2 dx: = [(x+√2)^3 / 3] dari -√2 sampai 0 = [ (0+√2)^3 / 3 ] - [ (-√2+√2)^3 / 3 ] = [ (√2)^3 / 3 ] - 0 = 2√2/3. Ini menunjukkan bahwa luas di bawah kurva dan di atas garis singgung y = -2√2 x - 1, dari x=-√2 sampai x=0 adalah 2√2/3. Dan luas di bawah kurva dan di atas garis singgung y = 2√2 x - 1, dari x=0 sampai x=√2 adalah 2√2/3. Jika soal menanyakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2+1 dan salah satu garis singgungnya dari titik potong (-√2 atau √2) hingga titik (0,-1), itu tidak masuk akal. Mari kita coba kemungkinan lain. Luas antara kurva dan garis yang menghubungkan kedua titik singgung (√2, 3) dan (-√2, 3). Garis ini adalah y=3. Integral dari -√2 sampai √2 dari (x^2+1 - 3) dx = Integral dari -√2 sampai √2 dari (x^2-2) dx = [x^3/3 - 2x] dari -√2 sampai √2 = [(√2)^3/3 - 2√2] - [(-√2)^3/3 + 2√2] = [2√2/3 - 2√2] - [-2√2/3 + 2√2] = [-4√2/3] - [4√2/3] = -8√2/3. Luasnya 8√2/3. Pilihan jawaban adalah 2/3 √2. Jika kita mengintegralkan |x^2 - 2| dx dari 0 ke √2: Integral dari 0 ke √2 dari (2-x^2) dx = [2x - x^3/3] dari 0 ke √2 = [2√2 - (√2)^3/3] - 0 = 2√2 - 2√2/3 = 4√2/3. Mari kita coba cara lain untuk mendapatkan 2/3 √2. Integral dari 0 ke √2 dari (x - √2)^2 dx = 2√2/3. Ini adalah luas antara kurva dan garis singgung, diintegralkan dari 0 sampai titik singgung. Jika soal ini adalah soal pilihan ganda yang benar, maka harus ada interpretasi yang tepat. Perhatikan kembali pilihan D: 2/3 sqrt(2). Jika kita mengintegralkan |x^2 - 1| dx dari 0 sampai 1: Integral dari 0 ke 1 dari (1-x^2) dx = [x - x^3/3] dari 0 ke 1 = 1 - 1/3 = 2/3. Ini tidak ada hubungannya dengan akar. Mari kita coba cari soal serupa di internet. Soal serupa seringkali menanyakan luas antara kurva dan garis singgung pada interval tertentu, atau luas di antara dua garis singgung. Jika kita menganggap soal menanyakan luas antara kurva y=x^2+1 dan garis singgung y = 2ax - a^2 + 1, di mana a=√2, maka kita dapatkan integral (x-√2)^2. Intervalnya harus ditentukan. Jika kita mengambil interval dari -√2 hingga √2, luasnya 16√2/3. Jika kita hanya mengambil setengah dari interval, misalnya dari 0 hingga √2, luasnya 2√2/3. Bisa jadi soal menanyakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva, garis singgung, dan sumbu y. Dalam hal ini, integralnya adalah dari 0 hingga √2. Jika batas integrasi adalah 0 hingga √2, untuk kurva y = x^2+1 dan garis singgung y = 2√2 x - 1. Luas = integral dari 0 sampai √2 dari (x^2+1 - (2√2 x - 1)) dx = integral dari 0 sampai √2 dari (x - √2)^2 dx = 2√2/3. Ini cocok dengan pilihan D (jika ada kesalahan pengetikan dalam soal atau pilihan). Atau pilihan C jika √3 seharusnya √2. Mari kita periksa pilihan D: 2/3 sqrt(2). Jika jawaban yang benar adalah D. Kemungkinan besar, soal ini mengasumsikan kita mengintegralkan dari 0 hingga salah satu titik singgungnya. Asumsi: Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2+1, garis singgungnya (misalnya y = 2√2 x - 1), dan sumbu y (x=0) hingga titik singgung (x=√2). Luas = $\int_{0}^{\sqrt{2}} ((x^2+1) - (2\sqrt{2}x - 1)) dx$ Luas = $\int_{0}^{\sqrt{2}} (x^2 - 2\sqrt{2}x + 2) dx$ Luas = $\int_{0}^{\sqrt{2}} (x - \sqrt{2})^2 dx$ Luas = $\left[ \frac{(x - \sqrt{2})^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{2}}$ Luas = $\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{2})^3}{3} - \frac{(0 - \sqrt{2})^3}{3}$ Luas = $0 - \frac{(-\sqrt{2})^3}{3}$ Luas = $- \frac{-2\sqrt{2}}{3}$ Luas = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Ini cocok dengan pilihan D. (Jika kita menganggap ada keliru dalam penulisan soal atau pilihan, dan seharusnya 2/3 *akar(2)). Namun, pilihan yang diberikan adalah 2/3 sqrt(2). Jika kita lihat pilihan D, itu persis 2/3 sqrt(2). Jadi, jawaban yang paling masuk akal adalah 2/3 sqrt(2) dengan asumsi batas integrasi dari 0 hingga titik singgung. Jawaban ringkas: 2/3 sqrt(2)
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Integral Tentu
Section: Aplikasi Integral Tentu, Luas Daerah
Apakah jawaban ini membantu?