Manager tim sepakbola asal Spanyol, Barcelona memiliki dana

5 defender dan 3 striker.

Pembahasan

Soal ini merupakan soal program linear.

Misalkan jumlah defender yang dibeli adalah x dan jumlah striker yang dibeli adalah y.

Kendala:
1. Dana: 6x + 8y <= 72 (dalam juta $)
2. Jumlah pemain: x + y >= 8
3. Minimum defender: x >= 3
4. Minimum striker: y >= 3

Tujuan: Meminimalkan biaya gaji mingguan, yaitu Minimize Z = 10x + 20y (dalam juta $)

Kita dapat mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut.

Dari kendala:
x >= 3
y >= 3
x + y >= 8
6x + 8y <= 72  => 3x + 4y <= 36

Mari kita cari titik potong dari garis-garis kendala:

1. Titik potong x=3 dan y=3: (3, 3). Z = 10(3) + 20(3) = 30 + 60 = 90.

2. Titik potong x=3 dan x+y=8: x=3, y=5. Titik (3, 5). Cek kendala 3x+4y<=36: 3(3)+4(5) = 9+20 = 29 <= 36. (Memenuhi). Z = 10(3) + 20(5) = 30 + 100 = 130.

3. Titik potong y=3 dan x+y=8: y=3, x=5. Titik (5, 3). Cek kendala 3x+4y<=36: 3(5)+4(3) = 15+12 = 27 <= 36. (Memenuhi). Z = 10(5) + 20(3) = 50 + 60 = 110.

4. Titik potong x=3 dan 3x+4y=36: x=3, 3(3)+4y=36 => 9+4y=36 => 4y=27 => y=6.75. Tidak bulat, jadi tidak valid.

5. Titik potong y=3 dan 3x+4y=36: y=3, 3x+4(3)=36 => 3x+12=36 => 3x=24 => x=8. Titik (8, 3). Cek kendala x+y>=8: 8+3=11>=8 (Memenuhi). Z = 10(8) + 20(3) = 80 + 60 = 140.

6. Titik potong x+y=8 dan 3x+4y=36:
Dari x+y=8, maka x = 8-y.
Substitusikan ke 3x+4y=36:
3(8-y) + 4y = 36
24 - 3y + 4y = 36
y = 12. Maka x = 8-12 = -4. Tidak valid karena x harus >= 3.

Kembali ke titik pojok yang valid:
(3, 3) -> Z = 90
(3, 5) -> Z = 130
(5, 3) -> Z = 110
(8, 3) -> Z = 140

Nilai Z terkecil adalah 90 pada titik (3, 3).
Namun, kita perlu memeriksa kembali kendala.

Jika x=3 dan y=3:
Dana: 6(3) + 8(3) = 18 + 24 = 42 <= 72 (Memenuhi)
Jumlah pemain: 3 + 3 = 6. Ini TIDAK memenuhi kendala x+y >= 8.

Jadi, titik (3,3) bukan solusi yang valid karena tidak memenuhi syarat minimal 8 pemain.

Mari kita cari titik lain yang memenuhi x+y >= 8 dan kendala lainnya.

Kemungkinan titik yang memenuhi:

Titik potong kendala:
x=3, y=3 -> tidak memenuhi x+y>=8

Perlu dicari titik potong antara:
x=3 dengan x+y=8 -> (3,5). Biaya Z = 10(3) + 20(5) = 130.
Dana: 6(3) + 8(5) = 18 + 40 = 58 <= 72 (Memenuhi)

x=3 dengan 3x+4y=36 -> 3(3)+4y=36 -> 9+4y=36 -> 4y=27 -> y=6.75 (Tidak bulat)

y=3 dengan x+y=8 -> (5,3). Biaya Z = 10(5) + 20(3) = 110.
Dana: 6(5) + 8(3) = 30 + 24 = 54 <= 72 (Memenuhi)

y=3 dengan 3x+4y=36 -> 3x+4(3)=36 -> 3x+12=36 -> 3x=24 -> x=8. Titik (8,3). Biaya Z = 10(8) + 20(3) = 140.
Dana: 6(8) + 8(3) = 48 + 24 = 72 <= 72 (Memenuhi)

x+y=8 dengan 3x+4y=36 -> x=-4, y=12 (Tidak valid)

Sekarang, kita periksa titik-titik yang valid:

1. (3, 5): Z = 130
2. (5, 3): Z = 110
3. (8, 3): Z = 140

Perlu dicari juga titik potong antara:
3x+4y=36 dengan y=3 -> (8,3) -> Z=140
3x+4y=36 dengan x=3 -> (3, 6.75) -> Tidak bulat

Apakah ada titik lain yang memenuhi x+y >= 8?
Misal x=4, y=4. x+y=8. Dana: 6(4)+8(4)=24+32=56<=72. Z=10(4)+20(4)=40+80=120.

Misal x=5, y=3. x+y=8. Dana: 6(5)+8(3)=30+24=54<=72. Z=10(5)+20(3)=50+60=110.

Misal x=6, y=3. x+y=9. Dana: 6(6)+8(3)=36+24=60<=72. Z=10(6)+20(3)=60+60=120.

Misal x=7, y=3. x+y=10. Dana: 6(7)+8(3)=42+24=66<=72. Z=10(7)+20(3)=70+60=130.

Misal x=8, y=3. x+y=11. Dana: 6(8)+8(3)=48+24=72<=72. Z=10(8)+20(3)=80+60=140.

Misal x=3, y=5. x+y=8. Dana: 6(3)+8(5)=18+40=58<=72. Z=10(3)+20(5)=30+100=130.

Misal x=3, y=6. x+y=9. Dana: 6(3)+8(6)=18+48=66<=72. Z=10(3)+20(6)=30+120=150.

Misal x=4, y=4. x+y=8. Z=120.

Misal x=4, y=5. x+y=9. Dana: 6(4)+8(5)=24+40=64<=72. Z=10(4)+20(5)=40+100=140.

Misal x=5, y=4. x+y=9. Dana: 6(5)+8(4)=30+32=62<=72. Z=10(5)+20(4)=50+80=130.

Dari perhitungan di atas, kombinasi yang memberikan biaya gaji mingguan sekecil mungkin adalah membeli 5 defender dan 3 striker, dengan total biaya gaji mingguan $110 juta.