Matriks (1/2 akar(3) 1/2 -1/2 1/2 akar(3)) merupakan matrik

Matriks tersebut adalah matriks rotasi sejauh 330 derajat berlawanan arah jarum jam atau 30 derajat searah jarum jam.

Pembahasan

Matriks rotasi standar pada titik O(0,0) sejauh sudut $\theta$ berlawanan arah jarum jam diberikan oleh:

$$ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$ 

Dalam soal ini, matriks yang diberikan adalah:

$$ \begin{pmatrix} 1/2 \sqrt{3} & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \sqrt{3} \end{pmatrix} $$ 

Kita perlu mencari sudut $\theta$ sedemikian rupa sehingga:

$\\cos \theta = 1/2 \sqrt{3}$
$\\sin \theta = -1/2$

Dari nilai $\\cos \theta$ dan $\\sin \theta$ yang diberikan, kita dapat mengidentifikasi sudutnya. Nilai $\\cos \theta = 1/2 \sqrt{3}$ positif dan nilai $\\sin \theta = -1/2$ negatif, yang berarti sudut $\theta$ berada di kuadran IV.

Kita tahu bahwa $\\cos 30^\circ = 1/2 \sqrt{3}$ dan $\\sin 30^\circ = 1/2$.

Untuk mendapatkan $\\sin \theta = -1/2$, kita perlu sudut di kuadran IV yang memiliki nilai sinus negatif. Sudut referensi adalah 30 derajat.

Jadi, $\theta = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$ atau $\theta = -30^\circ$ (dalam arah jarum jam).

Namun, jika kita melihat matriksnya, ada sedikit perbedaan dengan format standar. Mari kita periksa kembali:

$$ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$ 

Matriks yang diberikan adalah:

$$ \begin{pmatrix} 1/2 \sqrt{3} & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \sqrt{3} \end{pmatrix} $$ 

Perhatikan bahwa elemen di posisi (1,2) adalah $1/2$ dan elemen di posisi (2,1) adalah $-1/2$. Ini berarti:

$\\cos \theta = 1/2 \sqrt{3}$
$\\sin \theta = -1/2$

Ini sesuai dengan sudut $\theta = -30^\circ$ atau $330^\circ$. Namun, seringkali rotasi dinyatakan dalam sudut positif dan berlawanan arah jarum jam.

Ada kemungkinan matriks yang diberikan sedikit berbeda formatnya, atau ada kesalahan penulisan pada soal. Jika matriksnya:

$$ \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$ 

Ini bukan representasi standar rotasi. Mari kita asumsikan matriks standar.

Dengan $\\cos \theta = 1/2 \sqrt{3}$ dan $\\sin \theta = -1/2$, kita dapat menyimpulkan bahwa sudut rotasi adalah $\theta = -30^\circ$ atau $\theta = 330^\circ$. Jika rotasi biasanya dinyatakan sebagai sudut positif berlawanan arah jarum jam, maka itu adalah $330^\circ$. Namun, jika pertanyaannya adalah sejauh mana rotasi tersebut, dan kita mencari nilai absolut sudut yang menghasilkan matriks tersebut, maka $30^\circ$ dalam arah jarum jam (atau $-30^\circ$) adalah jawabannya.

Mari kita periksa jika matriksnya adalah:

$$ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$ 

Dan:

$\\cos \theta = 1/2 \sqrt{3} \implies \theta = 30^\circ$ atau $330^\circ$
$\\sin \theta = -1/2 

Ini kontradiksi. Mari kita periksa kembali:

Jika $\\cos \theta = 1/2 \sqrt{3}$ dan $\\sin \theta = 1/2$, maka $\theta = 30^\circ$.

Jika $\\cos \theta = 1/2$ dan $\\sin \theta = 1/2 \sqrt{3}$, maka $\theta = 60^\circ$.

Matriks yang diberikan adalah:

$$ \begin{pmatrix} 1/2 \sqrt{3} & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \sqrt{3} \end{pmatrix} $$ 

Bandingkan dengan format standar:

$$ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$ 

Kita punya:

$\\cos \theta = 1/2 \sqrt{3}$
$\\sin \theta = -1/2$

Dan juga:

$- \sin \theta = 1/2 

Ini konsisten. Jadi, $\\cos \theta = 1/2 \sqrt{3}$ dan $\\sin \theta = -1/2$.

Sudut $\theta$ di mana $\\cos \theta$ positif dan $\\sin \theta$ negatif adalah di kuadran IV.

Sudut referensi adalah $30^\circ$, karena $\\cos 30^\circ = 1/2 \sqrt{3}$ dan $\\sin 30^\circ = 1/2$.

Dalam kuadran IV, sudutnya adalah $360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$, atau $-30^\circ$.

Jadi, matriks tersebut merepresentasikan rotasi sejauh $330^\circ$ berlawanan arah jarum jam, atau $30^\circ$ searah jarum jam.