Median dan rata-rata dari data yang terdiri dari empat

24

Pembahasan

Misalkan keempat bilangan asli yang telah diurutkan adalah a, b, c, d.
Diketahui rata-rata = 8, maka (a+b+c+d)/4 = 8, sehingga a+b+c+d = 32.
Median = 8. Karena data diurutkan, median adalah nilai tengah. Untuk 4 data, median adalah rata-rata dari dua data tengah, yaitu (b+c)/2 = 8, sehingga b+c = 16.
Selisih data terbesar dan terkecil adalah 10, maka d - a = 10.
Modus tunggal. Ini berarti salah satu bilangan muncul lebih sering dari yang lain. Karena data diurutkan dan bilangan asli, ini bisa berarti b=a, c=b, atau d=c.
Namun, jika b=a, maka a, a, c, d. Jika c=b, maka a, b, b, d. Jika d=c, maka a, b, c, c.
Karena median b+c = 16 dan b <= c, kemungkinan pasangan (b, c) adalah (1, 15), (2, 14), (3, 13), (4, 12), (5, 11), (6, 10), (7, 9), (8, 8).

Substitusikan b+c = 16 ke dalam a+b+c+d = 32, menjadi a + 16 + d = 32, sehingga a + d = 16.
Kita punya dua persamaan:
d - a = 10
d + a = 16

Jumlahkan kedua persamaan: 2d = 26, maka d = 13.
Substitusikan d=13 ke d+a=16, maka a = 3.
Jadi, data pertama adalah 3 dan data terakhir adalah 13.

Sekarang kita cari b dan c. Kita tahu b+c = 16 dan a <= b <= c <= d, sehingga 3 <= b <= c <= 13.
Kemungkinan pasangan (b, c) yang memenuhi adalah (3, 13), (4, 12), (5, 11), (6, 10), (7, 9), (8, 8).

Perhatikan kondisi modus tunggal. 
Jika (b, c) = (3, 13), data menjadi 3, 3, 13, 13. Ini memiliki dua modus (3 dan 13), bukan modus tunggal.
Jika (b, c) = (4, 12), data menjadi 3, 4, 12, 13. Semua bilangan unik, tidak ada modus tunggal.
Jika (b, c) = (5, 11), data menjadi 3, 5, 11, 13. Semua bilangan unik.
Jika (b, c) = (6, 10), data menjadi 3, 6, 10, 13. Semua bilangan unik.
Jika (b, c) = (7, 9), data menjadi 3, 7, 9, 13. Semua bilangan unik.
Jika (b, c) = (8, 8), data menjadi 3, 8, 8, 13. Modus tunggal adalah 8.

Jadi, data yang memenuhi adalah 3, 8, 8, 13.
Kita diminta hasil kali data pertama dan ketiga. Data pertama adalah a=3, data ketiga adalah c=8.
Hasil kali data pertama dan ketiga adalah 3 * 8 = 24.