Misal diberikan fungsi-fungsi f(x)=1/4 x^4+4/3 x^3-37/2

a. (-8, -1) U (5, ∞) b. (-∞, -8) U (-1, 5) c. -1553/3, 305/12, -4015/12

Pembahasan

Untuk menentukan interval naik, turun, dan nilai stasioner dari fungsi f(x) = 1/4 x^4 + 4/3 x^3 - 37/2 x^2 - 40x + 5, kita perlu menggunakan turunan pertama.

a. Interval agar f(x) naik:
Fungsi naik ketika f'(x) > 0.
Turunan pertama f'(x) = d/dx (1/4 x^4 + 4/3 x^3 - 37/2 x^2 - 40x + 5)
f'(x) = x^3 + 4x^2 - 37x - 40
Untuk mencari interval naik, kita perlu mencari akar-akar dari f'(x) = 0.
Dengan mencoba beberapa nilai bulat, kita temukan bahwa f'(1) = 1 + 4 - 37 - 40 = -72, f'(-1) = -1 + 4 + 37 - 40 = 0. Jadi x = -1 adalah salah satu akarnya.
Kita bisa membagi (x^3 + 4x^2 - 37x - 40) dengan (x+1).
(x^3 + x^2) + (3x^2 - 37x) - 40
x^2(x+1) + 3x(x+1) - 40x - 40
x^2(x+1) + 3x(x+1) - 40(x+1)
(x+1)(x^2 + 3x - 40)
Sekarang faktorkan (x^2 + 3x - 40). Kita cari dua angka yang jika dikalikan -40 dan dijumlahkan 3. Angka tersebut adalah 8 dan -5.
(x+1)(x+8)(x-5) = 0
Akar-akarnya adalah x = -1, x = -8, dan x = 5.
Kita buat garis bilangan dengan titik-titik -8, -1, dan 5. Uji nilai di setiap interval:
- Untuk x < -8 (misal x = -9): f'(-9) = (-9+1)(-9+8)(-9-5) = (-8)(-1)(-14) = -112 (negatif)
- Untuk -8 < x < -1 (misal x = -2): f'(-2) = (-2+1)(-2+8)(-2-5) = (-1)(6)(-7) = 42 (positif)
- Untuk -1 < x < 5 (misal x = 0): f'(0) = (0+1)(0+8)(0-5) = (1)(8)(-5) = -40 (negatif)
- Untuk x > 5 (misal x = 6): f'(6) = (6+1)(6+8)(6-5) = (7)(14)(1) = 98 (positif)
Jadi, f(x) naik pada interval (-8, -1) dan (5, ∞).

b. Interval agar f(x) turun:
Fungsi turun ketika f'(x) < 0.
Dari analisis garis bilangan di atas, f(x) turun pada interval (-∞, -8) dan (-1, 5).

c. Nilai stasioner dari f(x):
Nilai stasioner terjadi ketika f'(x) = 0, yaitu pada x = -8, x = -1, dan x = 5.
Kita substitusikan nilai-nilai x ini ke fungsi f(x) asli:
- f(-8) = 1/4 (-8)^4 + 4/3 (-8)^3 - 37/2 (-8)^2 - 40(-8) + 5
         = 1/4 (4096) + 4/3 (-512) - 37/2 (64) + 320 + 5
         = 1024 - 2048/3 - 1184 + 320 + 5
         = 1024 - 682.67 - 1184 + 320 + 5 = -517.67 (atau -1553/3)
- f(-1) = 1/4 (-1)^4 + 4/3 (-1)^3 - 37/2 (-1)^2 - 40(-1) + 5
         = 1/4 - 4/3 - 37/2 + 40 + 5
         = (3 - 16 - 222)/12 + 45
         = -235/12 + 45 = (-235 + 540)/12 = 305/12 ≈ 25.42
- f(5) = 1/4 (5)^4 + 4/3 (5)^3 - 37/2 (5)^2 - 40(5) + 5
       = 1/4 (625) + 4/3 (125) - 37/2 (25) - 200 + 5
       = 625/4 + 500/3 - 925/2 - 195
       = (1875 + 2000 - 5550)/12 - 195
       = -1675/12 - 195 = (-1675 - 2340)/12 = -4015/12 ≈ -334.58

Jadi, nilai stasionernya adalah f(-8) = -1553/3, f(-1) = 305/12, dan f(5) = -4015/12.