Misal N adalah himpunan bilangan asli, P adalah himpunan

$a=5$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami definisi fungsi komposisi dan cara menentukan nilai variabel berdasarkan persamaan yang diberikan.

Diketahui:
N adalah himpunan bilangan asli.
P adalah himpunan bilangan prima.
R adalah himpunan bilangan real.
f: P → N didefinisikan sebagai $f(x) = \frac{3x^2 - 6x - 27}{x - 1}$
g: N → R didefinisikan sebagai $g(x) = x + 1$
h = f ∘ g

Fungsi komposisi h = f ∘ g berarti h(x) = f(g(x)).
Langkah pertama adalah mencari ekspresi untuk h(x):
$h(x) = f(g(x)) = f(x+1)$

Untuk mencari $f(x+1)$, kita substitusikan $(x+1)$ ke dalam ekspresi $f(x)$. Namun, definisi $f(x)$ adalah dari himpunan bilangan prima (P) ke himpunan bilangan asli (N). Sedangkan $g(x)$ adalah dari N ke R. Komposisi $h = f \circ g$ berarti input pertama ke $g$ adalah bilangan asli, dan output dari $g$ (yang merupakan bilangan real) menjadi input ke $f$. Namun, domain $f$ adalah bilangan prima. Ini menunjukkan ada potensi ketidaksesuaian dalam definisi soal atau pemahaman kita tentang domain dan kodomain dalam komposisi fungsi ini, terutama karena $f$ mengambil input dari $P$ (bilangan prima), bukan dari $N$ atau $R$. 

Jika kita mengasumsikan bahwa $f$ seharusnya mengambil input dari $N$ atau $R$, atau bahwa konteks soal mengizinkan substitusi ini secara aljabar tanpa memperhatikan domain secara ketat pada tahap komposisi awal, kita lanjutkan sebagai berikut:

Substitusikan $(x+1)$ ke dalam $f(y) = \frac{3y^2 - 6y - 27}{y - 1}$ dengan $y = x+1$:
$h(x) = f(x+1) = \frac{3(x+1)^2 - 6(x+1) - 27}{(x+1) - 1}$
$h(x) = \frac{3(x^2 + 2x + 1) - 6x - 6 - 27}{x}$
$h(x) = \frac{3x^2 + 6x + 3 - 6x - 33}{x}$
$h(x) = \frac{3x^2 - 30}{x}$

Sekarang, kita diberikan bahwa $h(a) = 9$. Kita perlu mencari nilai $a$:
$h(a) = \frac{3a^2 - 30}{a} = 9$

Kalikan kedua sisi dengan $a$ (dengan asumsi $a \neq 0$):
$3a^2 - 30 = 9a$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
$3a^2 - 9a - 30 = 0$

Bagi seluruh persamaan dengan 3 untuk menyederhanakannya:
$a^2 - 3a - 10 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(a - 5)(a + 2) = 0$

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk $a$: $a = 5$ atau $a = -2$.

Sekarang, kita perlu mempertimbangkan domain dari fungsi-fungsi tersebut. $g: N \to R$, jadi input $x$ untuk $g$ harus bilangan asli. Komposisi $h = f \circ g$. Domain dari $h$ adalah domain dari $g$, yaitu himpunan bilangan asli ($N$). Oleh karena itu, $a$ harus merupakan bilangan asli.

Dari solusi yang kita dapatkan, $a=5$ adalah bilangan asli, sedangkan $a=-2$ bukan bilangan asli.

Selain itu, domain dari $f$ adalah himpunan bilangan prima ($P$). Jadi, input ke $f$ harus bilangan prima. Dalam $h(x) = f(g(x))$, input ke $f$ adalah $g(x) = x+1$. Jadi, $x+1$ harus merupakan bilangan prima. Jika $a=5$, maka $g(a) = 5+1 = 6$. Angka 6 bukanlah bilangan prima. Ini menimbulkan masalah dengan definisi fungsi $f$ yang memiliki domain $P$. 

Jika kita mengabaikan batasan domain P untuk f dan hanya fokus pada aljabar, maka $a=5$ adalah solusi yang valid.

Mari kita periksa kembali definisi $f(x) = \frac{3x^2 - 6x - 27}{x - 1}$. Domain $f$ adalah $P$. Jika $f$ mengambil input $y$ dari $P$, maka $y$ harus bilangan prima. Outputnya adalah $N$. 

Kita memiliki $h(a) = 9$. $h(a) = f(g(a))$. $g(a) = a+1$. Jadi $f(a+1) = 9$.

Agar $f(a+1)$ terdefinisi, $a+1$ harus berada dalam domain $f$, yaitu $a+1$ harus bilangan prima. 

Jika $a=5$, maka $a+1 = 6$. 6 bukan bilangan prima. Maka $f(6)$ tidak terdefinisi berdasarkan domain $f$ yang diberikan (hanya bilangan prima).

Jika kita mengasumsikan bahwa soal ingin kita mencari nilai $a$ sedemikian rupa sehingga jika kita substitusikan $g(a)$ ke dalam ekspresi $f$, hasilnya adalah 9, dan $a$ harus bilangan asli:

Maka $a=5$ adalah solusi yang memenuhi $a \in N$ dan persamaan aljabarnya.

Namun, jika kita sangat ketat dengan definisi domain fungsi $f$, maka harus ada bilangan prima $p$ sedemikian rupa sehingga $p=a+1$ dan $f(p)=9$. Jika $a=5$, $a+1=6$, yang bukan prima. Jika $a$ adalah bilangan asli lain yang membuat $a+1$ menjadi prima, misalnya $a=2$, maka $a+1=3$ (prima). $f(3) = \frac{3(3^2) - 6(3) - 27}{3 - 1} = \frac{3(9) - 18 - 27}{2} = \frac{27 - 18 - 27}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \neq 9$.

Mengingat konteks soal matematika sekolah, kemungkinan besar penekanan ada pada manipulasi aljabar dan penyelesaian persamaan kuadrat, dengan asumsi bahwa substitusi dapat dilakukan secara formal. Dalam hal ini, kita fokus pada $a 
ange{N}$.

Jadi, berdasarkan penyelesaian aljabar dan syarat $a$ adalah bilangan asli, nilai $a$ adalah 5.