Misal sin theta, cos theta, tan theta, ... adalah barisan

Suku ke-7

Pembahasan

Diketahui sin θ, cos θ, tan θ, ... adalah barisan geometri. Ini berarti perbandingan antara suku yang berdekatan adalah konstan. Rasio barisan geometri (r) adalah:
r = cos θ / sin θ = cot θ
r = tan θ / cos θ

Karena ini adalah barisan geometri, kedua rasio ini harus sama:
cos θ / sin θ = tan θ / cos θ

Kita tahu bahwa tan θ = sin θ / cos θ. Substitusikan ini ke dalam persamaan:
cos θ / sin θ = (sin θ / cos θ) / cos θ
cos θ / sin θ = sin θ / cos^2 θ

Kalikan silang:
cos^3 θ = sin^2 θ

Sekarang kita perlu mencari urutan suku ke-n menjadi cosec θ. Suku ke-n dari barisan geometri diberikan oleh a_n = a_1 * r^(n-1), di mana a_1 adalah suku pertama dan r adalah rasio.
Dalam kasus ini, a_1 = sin θ.
Kita ingin a_n = cosec θ = 1/sin θ.

Jadi, sin θ * r^(n-1) = 1/sin θ
r^(n-1) = 1/sin^2 θ

Kita tahu bahwa r = cot θ = cos θ / sin θ.
(cos θ / sin θ)^(n-1) = 1/sin^2 θ
(cos θ)^(n-1) / (sin θ)^(n-1) = 1/sin^2 θ

Kalikan kedua sisi dengan sin^2 θ:
(cos θ)^(n-1) * sin^2 θ / (sin θ)^(n-1) = 1
(cos θ)^(n-1) * sin^(2 - (n-1)) = 1
(cos θ)^(n-1) * sin^(3 - n) = 1

Ini tampaknya rumit. Mari kita coba pendekatan lain dengan menggunakan hubungan yang kita temukan sebelumnya: cos^3 θ = sin^2 θ.

Kita ingin suku ke-n menjadi cosec θ.
Suku pertama: sin θ
Suku kedua: cos θ = sin θ * r
Suku ketiga: tan θ = cos θ * r = sin θ * r^2

Kita ingin suku ke-n = cosec θ.
sin θ * r^(n-1) = 1/sin θ
r^(n-1) = 1/sin^2 θ

Karena cos^3 θ = sin^2 θ, maka:
r^(n-1) = 1 / cos^3 θ

Sekarang mari kita periksa rasio r:
r = cos θ / sin θ.
Kita ingin mencari n sehingga (cos θ / sin θ)^(n-1) = 1 / cos^3 θ.

Ini masih belum langsung. Mari kita perhatikan rasio yang dibentuk dari suku-suku:
suku1 = sin θ
suku2 = cos θ
suku3 = tan θ

r = cos θ / sin θ
r = tan θ / cos θ

Kita tahu cos^3 θ = sin^2 θ.

Mari kita coba mensubstitusikan nilai cos^3 θ = sin^2 θ ke dalam suku-suku.
Jika sin θ = s dan cos θ = c, maka c^3 = s^2.
r = c/s

Suku-suku:
s, c, tan θ = s/c

Perbandingan suku ke-3 dengan suku ke-2:
(s/c) / c = s/c^2
Ini harus sama dengan r = c/s.
s/c^2 = c/s => s^2 = c^3. Ini konsisten.

Kita ingin suku ke-n = cosec θ = 1/s.
Suku ke-n = s * r^(n-1)
1/s = s * (c/s)^(n-1)
1/s^2 = (c/s)^(n-1)

Kita tahu s^2 = c^3. Jadi:
1/c^3 = (c/s)^(n-1)

Kita juga tahu r = c/s. Dan r^2 = (c/s)^2 = c^2/s^2 = c^2/c^3 = 1/c.
Jadi, r = (1/c)^(1/2).

Ini juga tidak membantu.

Mari kita lihat lagi r = cos θ / sin θ.
Kita ingin r^(n-1) = 1/sin^2 θ.
Karena sin^2 θ = cos^3 θ:
r^(n-1) = 1/cos^3 θ

Sekarang, mari kita nyatakan r dalam bentuk cos θ:
r = cos θ / sin θ.
Kita tahu sin^2 θ = cos^3 θ, jadi sin θ = ±(cos^3 θ)^(1/2).
r = cos θ / (±(cos^3 θ)^(1/2)) = ± cos θ / (cos^(3/2) θ) = ± cos^(-1/2) θ.

Ini menjadi terlalu rumit. Mari kita kembali ke awal.
sin θ, cos θ, tan θ adalah barisan geometri.
r = cos θ / sin θ = tan θ / cos θ.
cos^2 θ = sin θ tan θ = sin θ (sin θ / cos θ) = sin^2 θ / cos θ.
cos^3 θ = sin^2 θ.

Kita ingin suku ke-n = cosec θ = 1/sin θ.
a_n = a_1 * r^(n-1)
1/sin θ = sin θ * r^(n-1)
1/sin^2 θ = r^(n-1)

Substitusikan sin^2 θ = cos^3 θ:
1/cos^3 θ = r^(n-1)

Sekarang, r = cos θ / sin θ. Kita perlu mengekspresikan r dalam cara yang sama.
Kita tahu sin^2 θ = cos^3 θ.
cos^2 θ = 1 - sin^2 θ = 1 - cos^3 θ.

Mari kita coba nyatakan r dalam bentuk cos θ.
r = cos θ / sin θ.
Jika kita kuadratkan r: r^2 = cos^2 θ / sin^2 θ = cos^2 θ / cos^3 θ = 1/cos θ.
Jadi, r = 1 / cos^(1/2) θ = cos^(-1/2) θ.

Sekarang kita punya:
(cos^(-1/2) θ)^(n-1) = 1/cos^3 θ
cos^(-(n-1)/2) θ = cos^(-3) θ

Samakan pangkatnya:
-(n-1)/2 = -3
n-1 = 6
n = 7

Jadi, suku ke-7 adalah cosec θ.