Misalkan a dan b akar-akar persamaan kuadrat berikut

-8 + 6/√{√2+1}

Pembahasan

Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dengan akar-akar a dan b, berlaku:
Jumlah akar: a + b = -b/a
Produk akar: ab = c/a

Dalam kasus ini, persamaan kuadratnya adalah x² + (2√{√2+1})x + √{√2+1} = 0.
Jadi, koefisiennya adalah:
A = 1
B = 2√{√2+1}
C = √{√2+1}

Jumlah akar (a + b):
a + b = -B/A = -(2√{√2+1})/1 = -2√{√2+1}

Produk akar (ab):
ab = C/A = √{√2+1}/1 = √{√2+1}

Kita perlu mencari nilai dari 1/a³ + 1/b³.
Kita bisa menyederhanakannya menjadi:
1/a³ + 1/b³ = (b³ + a³)/(a³b³)
1/a³ + 1/b³ = (a³ + b³)/(ab)³

Kita tahu bahwa a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b).

Substitusikan nilai a + b dan ab:

a³ + b³ = (-2√{√2+1})³ - 3(√{√2+1})(-2√{√2+1})
a³ + b³ = -8(√{√2+1})³ + 6(√{√2+1})²
a³ + b³ = -8(√2+1)√{√2+1} + 6(√2+1)
a³ + b³ = (√2+1) [-8√{√2+1} + 6]

(ab)³ = (√{√2+1})³ = (√2+1)√{√2+1}

Sekarang, substitusikan kembali ke rumus 1/a³ + 1/b³:
1/a³ + 1/b³ = [(√2+1) [-8√{√2+1} + 6]] / [(√2+1)√{√2+1}]
1/a³ + 1/b³ = [-8√{√2+1} + 6] / √{√2+1}

Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kita bisa membagi setiap suku di pembilang dengan penyebut:
1/a³ + 1/b³ = -8√{√2+1} / √{√2+1} + 6 / √{√2+1}
1/a³ + 1/b³ = -8 + 6 / √{√2+1}

Namun, jika kita perhatikan kembali C = √{√2+1}, maka √{√2+1} adalah C.
Jadi, a + b = -2C dan ab = C.

a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)
a³ + b³ = (-2C)³ - 3(C)(-2C)
a³ + b³ = -8C³ + 6C²

1/a³ + 1/b³ = (a³ + b³) / (ab)³
1/a³ + 1/b³ = (-8C³ + 6C²) / C³
1/a³ + 1/b³ = -8C³/C³ + 6C²/C³
1/a³ + 1/b³ = -8 + 6/C

Karena C = √{√2+1}, maka:
1/a³ + 1/b³ = -8 + 6/√{√2+1}

Ada kemungkinan ada penyederhanaan lebih lanjut atau kesalahan interpretasi. Mari kita periksa kembali soalnya. Jika C = √{√2+1}, maka C² = √2+1 dan C³ = (√2+1)√{√2+1}.

a³ + b³ = -8(√2+1)√{√2+1} + 6(√2+1)
(ab)³ = (√2+1)√{√2+1}

1/a³ + 1/b³ = [-8(√2+1)√{√2+1} + 6(√2+1)] / [(√2+1)√{√2+1}]
1/a³ + 1/b³ = 6(√2+1) / [(√2+1)√{√2+1}] - 8(√2+1)√{√2+1} / [(√2+1)√{√2+1}]
1/a³ + 1/b³ = 6 / √{√2+1} - 8

Jawaban ini tampaknya konsisten. Namun, mari kita coba cara lain. Perhatikan bahwa C = √{√2+1}. Maka C² = √2+1. Maka C⁴ = (√2+1)² = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2.

Kembali ke a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²) = (a+b)((a+b)² - 3ab).

a + b = -2C
ab = C

a³ + b³ = (-2C)((-2C)² - 3C)
a³ + b³ = (-2C)(4C² - 3C)
a³ + b³ = -8C³ + 6C²

1/a³ + 1/b³ = (a³ + b³) / (ab)³ = (-8C³ + 6C²) / C³ = -8 + 6/C

Jika C = √{√2+1}, maka 1/C = 1/√{√2+1}. Maka hasilnya adalah -8 + 6/√{√2+1}.

Mari kita periksa apakah ada penyederhanaan untuk C = √{√2+1}.
Kita tahu bahwa (√2+1)² = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2.
Kita tahu bahwa (√2)² = 2.

Jika ada kesalahan dalam soal atau jika √{√2+1} bisa disederhanakan lebih lanjut, hasilnya bisa berbeda. Namun, berdasarkan aljabar standar, hasilnya adalah -8 + 6/√{√2+1}.