misalkan BC=a, AC=b , dan AB=c. ADBEC a. kita lihat bahwa

Panjang BD dapat dihitung menggunakan rumus $BD = \sqrt{a^2 - b^2 + (\frac{b^2+c^2-a^2}{2c})^2}$. Dugaan panjang CE dan BE tidak dapat ditentukan tanpa informasi tambahan mengenai titik E.

Pembahasan

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu menggunakan teorema-teorema geometri. Pertama, kita perlu menghitung panjang AD. Dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga ABC, kita dapat menemukan cosinus dari sudut A. Kemudian, pada segitiga ABD, kita dapat menggunakan aturan kosinus lagi untuk mencari panjang BD. 

Misalkan sudut BAC = $\alpha$. Menurut aturan kosinus pada segitiga ABC:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
$\cos \alpha = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc$

Pada segitiga ABD, sudut ADB = 90 derajat (karena AD adalah tinggi dari C ke AB).
Menurut teorema Pythagoras pada segitiga ABD:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$c^2 = AD^2 + BD^2$

Kita sudah diberikan $AD = (b^2+c^2-a^2)/2c$. Maka:
$c^2 = ((b^2 + c^2 - a^2) / 2c)^2 + BD^2$
$BD^2 = c^2 - ((b^2 + c^2 - a^2) / 2c)^2$
$BD = \sqrt{c^2 - ((b^2 + c^2 - a^2) / 2c)^2}$

Untuk dugaan panjang BD, berdasarkan simetri atau sifat segitiga siku-siku, kita bisa menduga bahwa BD akan bergantung pada panjang AB (c) dan panjang AD. Jika kita mempertimbangkan segitiga ABC, dan titik D pada AB sehingga CD adalah garis tinggi, maka BD = AB - AD = c - AD, jika D terletak di antara A dan B.

Namun, jika kita melihat diagram ADBEC, tampaknya D adalah titik pada perpanjangan AB atau sebaliknya. Jika CD adalah garis tinggi dari C ke AB (atau perpanjangannya), maka pada segitiga siku-siku ADC, $AC^2 = AD^2 + CD^2$, dan pada segitiga siku-siku BDC, $BC^2 = BD^2 + CD^2$. Dari sini, $CD^2 = b^2 - AD^2$ dan $CD^2 = a^2 - BD^2$. Maka $b^2 - AD^2 = a^2 - BD^2$.
$BD^2 = a^2 - b^2 + AD^2$.

Jika AD adalah proyeksi AC pada AB, maka $AD = AC \cos A = b rac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = rac{b^2+c^2-a^2}{2c}$. Ini sesuai dengan yang diberikan. Maka $BD = |AB - AD|$ jika D ada di segmen AB. Atau $BD = AD - AB$ jika B ada di antara A dan D. Atau $BD = AB + AD$ jika A ada di antara D dan B.

Dalam konteks segitiga siku-siku BDC, $BD^2 = BC^2 - CD^2$. Kita tahu $CD^2 = AC^2 - AD^2 = b^2 - (rac{b^2+c^2-a^2}{2c})^2$.
$BD^2 = a^2 - [b^2 - (rac{b^2+c^2-a^2}{2c})^2] = a^2 - b^2 + (rac{b^2+c^2-a^2}{2c})^2$.

Untuk dugaan panjang CE dan BE: Dalam diagram ADBEC, E tampaknya adalah titik sedemikian rupa sehingga CE tegak lurus dengan BC, dan BE tegak lurus dengan AB. Ini membentuk jajar genjang atau konfigurasi khusus lainnya. Tanpa informasi lebih lanjut tentang E, sulit untuk memberikan dugaan yang akurat. Jika ADBEC adalah persegi panjang, maka AD = BC = a dan AC = BD = b. Namun, ini hanya mungkin jika segitiga ABC siku-siku di C.

Jika kita mengasumsikan bahwa ADBEC adalah sebuah jajar genjang, maka AD sejajar dan sama dengan BC, dan AC sejajar dan sama dengan BD. Ini akan memberikan $AD = a$ dan $BD = b$. Namun, ini bertentangan dengan rumus AD yang diberikan. 

Jika kita mengasumsikan E adalah titik sedemikian rupa sehingga CE adalah garis tinggi dari C ke AB, maka E=D. Jika BE adalah garis tinggi dari B ke AC, maka E ada di AC. 

Tanpa informasi lebih lanjut mengenai posisi titik E, tidak mungkin untuk menentukan panjang CE dan BE.

Asumsi tambahan:
Jika ADBEC adalah sebuah layang-layang dengan AB sebagai sumbu simetri, maka AD = AC = b dan BD = BC = a. Ini juga bertentangan dengan informasi yang diberikan.

Jika kita menganggap bahwa CE dan BE adalah garis tinggi dari C dan B ke sisi yang berhadapan (atau perpanjangannya), maka E bisa menjadi titik yang berbeda. 

Karena soal hanya memberikan informasi tentang segitiga ABC dan panjang AD, serta menanyakan tentang BD, CE, dan BE, kemungkinan ada informasi geometris implisit dari penamaan ADBEC.

Mari kita fokus pada BD terlebih dahulu. Berdasarkan rumus AD, tampaknya D adalah kaki garis tinggi dari C ke AB. Maka BD adalah segmen dari B ke kaki garis tinggi tersebut. Kita sudah menghitung $BD^2 = a^2 - b^2 + AD^2$. 
$BD = \sqrt{a^2 - b^2 + (\frac{b^2+c^2-a^2}{2c})^2}$.

Dugaan untuk BD: Jika segitiga ABC siku-siku di C, maka $a^2+b^2=c^2$. Maka $AD = (b^2+b^2+c^2-a^2)/2c = (2b^2+c^2-a^2)/2c$. Ini tidak menyederhanakan dengan baik. Jika segitiga ABC siku-siku di A, maka $b^2+c^2=a^2$. Maka $AD = (b^2+c^2-a^2)/2c = 0$. D berimpit dengan A. BD=c. Rumus BD: $BD = \sqrt{a^2-b^2+0} = \sqrt{c^2-b^2}$. Ini benar jika segitiga ABC siku-siku di A, karena $BD = c$, dan $a^2-b^2 = c^2-b^2$. Jadi jika siku-siku di A, BD=c.

Jika segitiga ABC siku-siku di B, maka $a^2+c^2=b^2$. Maka $AD = (b^2+c^2-a^2)/2c = (a^2-c^2+c^2-a^2)/2c = 0$. D berimpit dengan A. Ini salah karena D harus pada AB. Jika siku-siku di B, maka D berimpit dengan B jika C adalah titik pada garis tegak lurus AB di B. Dalam kasus ini AD=c. $AD = (b^2+c^2-a^2)/2c = (b^2+c^2-(b^2-c^2))/2c = 2c^2/2c = c$. Ini benar. Maka BD = 0. Rumus BD: $BD = \sqrt{a^2-b^2+AD^2} = \sqrt{(b^2-c^2)-b^2+c^2} = 0$. Ini benar jika siku-siku di B. Jadi jika siku-siku di B, BD=0.

Dugaan untuk CE dan BE: Jika ADBEC adalah persegi panjang, maka AD sejajar BC, AC sejajar BD. AD = BC = a, AC = BD = b. CE tegak lurus AB, BE tegak lurus AC. Ini tidak mungkin secara umum.

Kemungkinan lain dari penamaan ADBEC adalah bahwa D adalah titik pada AB, E adalah titik pada perpanjangan AC, dan C adalah titik pada BE. Ini juga tidak jelas.

Dengan asumsi D adalah kaki garis tinggi dari C ke AB, maka BD adalah panjang segmen dari B ke D. Kita telah menghitung rumus eksaknya. Dugaan untuk BD bisa berdasarkan kasus-kasus khusus segitiga (siku-siku di A, B, atau C).

Untuk CE dan BE, tanpa informasi tambahan mengenai E, tidak ada cara untuk menentukan panjangnya.

Jika soal ini berasal dari konteks tertentu (misalnya, buku teks atau bab tertentu), konteks tersebut mungkin memberikan petunjuk tentang sifat titik E. Namun, berdasarkan informasi yang diberikan saja, bagian b tidak dapat dijawab.