Misalkan f(5x + 2) >= f(5x) + 2 dan f(5x + 1) <= f(5x) + 1

2018/2019

Pembahasan

Diketahui kondisi: f(5x + 2) >= f(5x) + 2 dan f(5x + 1) <= f(5x) + 1 untuk setiap bilangan x. Fungsi g(x) = f(x) - 2. Diketahui juga f(5) = 1/((1)(2)) + 1/((2)(3)) + 1/((3)(4)) + 1/((4)(5)) + ... + 1/((2018)(2019)). Kita perlu menghitung nilai g(7).

Pertama, mari kita hitung nilai f(5). Deret yang diberikan adalah deret teleskopik:
f(5) = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + ... + (1/2018 - 1/2019)
Semua suku tengah saling menghilangkan, sehingga:
f(5) = 1 - 1/2019
f(5) = 2018/2019.

Sekarang, mari kita gunakan informasi yang diberikan tentang fungsi f(x).
Dari f(5x + 2) >= f(5x) + 2, kita bisa substitusi x dengan nilai tertentu. Jika kita ingin mencari g(7) yang berarti kita perlu f(7), kita perlu melihat bagaimana kita bisa mendekati argumen fungsi ke 7.

Mari kita ubah ketidaksamaan pertama: f(y+2) >= f(y) + 2 jika y adalah kelipatan 5.
Mari kita ubah ketidaksamaan kedua: f(y+1) <= f(y) + 1 jika y adalah kelipatan 5.

Kita punya f(5) = 2018/2019.
Kita ingin mencari f(7).

Mari kita coba manipulasi ketidaksamaan:
Dari f(5x+1) <= f(5x) + 1, substitusi x=1 (karena 5x = 5 adalah kelipatan 5):
f(5(1)+1) <= f(5(1)) + 1
f(6) <= f(5) + 1
f(6) <= 2018/2019 + 1
f(6) <= 4037/2019.

Dari f(5x+2) >= f(5x) + 2, substitusi x=1:
f(5(1)+2) >= f(5(1)) + 2
f(7) >= f(5) + 2
f(7) >= 2018/2019 + 2
f(7) >= 6056/2019.

Sekarang kita punya batasan untuk f(7). Namun, soal meminta nilai g(7) = f(7) - 2. Jika kita gunakan f(7) >= 6056/2019, maka g(7) >= 6056/2019 - 2 = 6056/2019 - 4038/2019 = 2018/2019.

Mari kita coba gunakan ketidaksamaan kedua untuk mendapatkan nilai yang lebih pasti. Jika kita asumsikan bahwa ketidaksamaan berlaku sebagai kesamaan untuk kasus tertentu atau jika ada sifat fungsi yang lebih kuat yang tidak disebutkan, kita bisa mendapatkan nilai eksak.

Perhatikan f(5x + 2) >= f(5x) + 2. Jika kita gunakan f(x) = x + c, maka f(5x+2) = 5x+2+c dan f(5x)+2 = 5x+c+2, yang memenuhi. Jika kita gunakan f(x) = x, maka f(5) = 5, bukan 2018/2019.

Mari kita kembali ke f(5x+1) <= f(5x) + 1. Jika kita substitusi x=0 (jika domain mengizinkan), f(1) <= f(0) + 1.

Jika kita perhatikan f(5x+2) >= f(5x) + 2 dan f(5x+1) <= f(5x) + 1.
Ini menyiratkan bahwa pertumbuhan fungsi pada interval [5x, 5x+2] adalah setidaknya 2, dan pada interval [5x, 5x+1] adalah paling banyak 1.

Coba kita lihat f(5) dan f(7) menggunakan kedua ketidaksamaan:
Dari f(5x+2) >= f(5x) + 2, ambil x=1, maka f(7) >= f(5) + 2.
Dari f(5x+1) <= f(5x) + 1, ambil x=1, maka f(6) <= f(5) + 1.

Kita perlu f(7). Kita punya f(7) >= f(5) + 2.

Sekarang kita hitung g(7) = f(7) - 2.
Jika f(7) >= f(5) + 2, maka f(7) - 2 >= f(5).
Jadi, g(7) >= f(5).
g(7) >= 2018/2019.

Ada kemungkinan bahwa soal ini dirancang agar ketidaksamaan tersebut berlaku sebagai kesamaan untuk nilai x yang relevan atau ada informasi implisit tentang sifat fungsi f.

Jika kita asumsikan f(5x+2) = f(5x) + 2, maka f(7) = f(5) + 2.
Dalam kasus ini, g(7) = f(7) - 2 = (f(5) + 2) - 2 = f(5).

Maka, g(7) = 2018/2019.

Mari kita verifikasi apakah ini konsisten dengan ketidaksamaan kedua. Jika f(x) = x - 5 + 2018/2019, maka f(5) = 5 - 5 + 2018/2019 = 2018/2019.
Cek f(5x+2) >= f(5x) + 2:
(5x+2) - 5 + 2018/2019 >= (5x) - 5 + 2018/2019 + 2
5x - 3 + 2018/2019 >= 5x - 5 + 2018/2019 + 2
5x - 3 + 2018/2019 >= 5x - 3 + 2018/2019 (Ini terpenuhi sebagai kesamaan).

Cek f(5x+1) <= f(5x) + 1:
(5x+1) - 5 + 2018/2019 <= (5x) - 5 + 2018/2019 + 1
5x - 4 + 2018/2019 <= 5x - 5 + 2018/2019 + 1
5x - 4 + 2018/2019 <= 5x - 4 + 2018/2019 (Ini terpenuhi sebagai kesamaan).

Karena kedua ketidaksamaan terpenuhi sebagai kesamaan dengan asumsi f(x) = x - 5 + 2018/2019, maka kita dapat menggunakan asumsi ini untuk mencari g(7).

g(7) = f(7) - 2
g(7) = (7 - 5 + 2018/2019) - 2
g(7) = (2 + 2018/2019) - 2
g(7) = 2018/2019.