Misalkan f(x) adalah suatu polinom derajat tiga yang

7x - 6 (dengan asumsi k=1 dan interpretasi akar)

Pembahasan

Misalkan akar-akar polinom derajat tiga f(x) adalah a-d, a, dan a+d (karena membentuk barisan aritmetika).
Jumlah akar-akar = (a-d) + a + (a+d) = 3a.
Diketahui jumlah akar-akar = 12, maka 3a = 12, sehingga a = 4.
Jadi, akar-akarnya adalah 4-d, 4, dan 4+d.

Diketahui nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama. Ini merujuk pada nilai akar, bukan nilai f(x). Jika yang dimaksud adalah nilai f(x) pada akar-akar tersebut, maka interpretasinya akan berbeda. Namun, jika diasumsikan merujuk pada nilai akar:
Nilai akar ketiga = 3 * Nilai akar pertama
4+d = 3 * (4-d)
4+d = 12 - 3d
4d = 8
d = 2
Maka akar-akarnya adalah:
4-2 = 2
4
4+2 = 6

Jadi, f(x) = k(x-2)(x-4)(x-6) untuk suatu konstanta k.
Sekarang kita perlu mencari sisa pembagian f(x+6) oleh x^2+1.
Kita substitusikan x+6 ke dalam f(x):
f(x+6) = k((x+6)-2)((x+6)-4)((x+6)-6)
f(x+6) = k(x+4)(x+2)(x)

Kita ingin membagi f(x+6) dengan x^2+1. Kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau teorema sisa.
Karena pembaginya adalah x^2+1, kita bisa mengganti x^2 dengan -1.

Mari kita ekspansi f(x+6) terlebih dahulu:
f(x+6) = k(x^2 + 6x + 8)(x) = k(x^3 + 6x^2 + 8x)

Sekarang kita bagi dengan x^2+1. 
Kita tahu bahwa x^3 = x * x^2. Mengganti x^2 dengan -1, maka x^3 = x(-1) = -x.

Maka, f(x+6) = k(-x + 6(-1) + 8x)
f(x+6) = k(-x - 6 + 8x)
f(x+6) = k(7x - 6)

Jadi, sisa pembagian f(x+6) oleh x^2+1 adalah k(7x-6). Namun, nilai k tidak diketahui dari informasi yang diberikan. 

Mari kita tinjau ulang interpretasi "Nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama". Jika ini merujuk pada koefisien suku-suku polinom:
Misalkan f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D.
Ini tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan akar-akarnya secara langsung.

Asumsi yang paling masuk akal adalah bahwa "suku ketiga" dan "suku pertama" merujuk pada akar-akar dalam barisan aritmetika.
Jadi, akar-akarnya adalah 2, 4, 6.

f(x) = k(x-2)(x-4)(x-6)
Kita perlu informasi lebih lanjut tentang f(x) untuk menentukan nilai k, atau mungkin nilai k tidak relevan untuk sisa pembagian.

Mari kita coba metode lain. Ketika f(x+6) dibagi oleh x^2+1, kita dapat menggunakan x^2 = -1.
Kita sudah mendapatkan f(x+6) = k(x+4)(x+2)(x) = k(x^3 + 6x^2 + 8x).
Ganti x^3 = x(x^2) = x(-1) = -x.
Ganti x^2 = -1.
Maka, f(x+6) = k(-x + 6(-1) + 8x)
f(x+6) = k(-x - 6 + 8x)
f(x+6) = k(7x - 6)

Karena tidak ada informasi tambahan untuk menentukan k, kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau informasi yang diberikan tidak mencukupi untuk mendapatkan jawaban numerik tunggal.

Namun, jika soal ini berasal dari konteks di mana k=1 atau ada informasi implisit lain, maka sisa pembagiannya adalah 7x - 6.

Revisi interpretasi: Mungkin "nilai suku ketiga" dan "nilai suku pertama" merujuk pada nilai f(x) di akar-akar tersebut. Namun, untuk polinom dengan akar a-d, a, a+d, hubungan f(a+d) = 3 * f(a-d) tidak langsung menyederhanakan masalah tanpa mengetahui nilai f(x) di titik lain.

Dengan asumsi interpretasi awal (akar-akar 2, 4, 6) adalah benar dan nilai k tidak relevan atau dapat diasumsikan 1 untuk menemukan bentuk sisa:
Sisa pembagian f(x+6) oleh x^2+1 adalah 7x - 6.